相似对角化矩阵及其求法.ppt

相似对角化矩阵及其求法
第一页，共40页。
等价关系：
二、相似矩阵与相似变换的性质
１．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多
良好的性质。
第二页，共40页。
性质：
直接由定义容易推出
相似对角化矩阵及其求法
第一页，共40页。
等价关系：
二、相似矩阵与相似变换的性质
１．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多
良好的性质。
第二页，共40页。
性质：
直接由定义容易推出
第三页，共40页。
２．相似变换与相似变换矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种
运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与
之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从
而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对
角矩阵的运算．
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A
变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
第四页，共40页。
证明:
第五页，共40页。
此结论只是
第六页，共40页。
推论 若 阶方阵A与对角阵
第七页，共40页。
证明
三、利用相似变换将方阵对角化
第八页，共40页。
第九页，共40页。
命题得证.
第十页，共40页。
如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，
则 与对角阵相似（充分条件 ) ．
推论1
不能对角化的矩阵一定具有多重特征值 。
说明
如果 的特征方程有重根，此时不一定
有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一
定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特
征向量， 还是能对角化．
第十一页，共40页。
设 是n阶矩阵A的互异特征值，即
称 是特征值 的代数重数； 所对应的线性无关特征向量的个数称为 的几何重数。
结论：几何重数 代数重数。
推论2 n阶矩阵A可对角化的充要条件是
第十二页，共40页。
第十三页，共40页。
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解
第十四页，共40页。
解之得基础解系
第十五页，共40页。
求得基础解系
第十六页，共40页。
解之得基础解系
故 A不能化为对角矩阵.
几何重数 < 代数重数,
第十七页，共40页。
A能否对角化？若能对角化，
例2
解
第十八页，共40页。
解之得基础解系
第十九页，共40页。
所以 可对角化.
第二十页，共40页。
注意
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
可见 P 未必唯一。
第二十一页，共40页。
例3
三阶方阵A的三个特征值
且对应的特征向量分别是
解：
第二十二页，共40页。
第二十三页，共40页。
利用对角矩阵计算矩阵多项式
k个
第二十四页，共40页。
利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .
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第二十六页，共40页。
解　(1)　可对角化的充分条件是　有　个互异的
特征值．下面求出　的所有特征值．
第二十七页，共40页。
第二十八页，共40页。
第二十九页，共40页。
§ Jordan 标准形介绍
定理 ：任意n方阵A都存在n阶可逆矩阵P，使得
-----Jordan矩阵。
其中
称为Jordan块矩阵。
为A的特征值,可以是多重的。
第三十页，共40页。
例如
称为Jordan块.
称为子Jordan阵。
第三十一页，共40页。
Jordon标准形相似变换矩阵P的求法
以三阶矩阵为例来分析说明：
设A相似于
由
第三十二页，共40页。
分别取
解得
这里仅 X1 是 A 对应于 的特征向量。
例3
求可逆阵 P 和Jordan阵，使得
解：令
第三十三页，共40页。
A有特征值 （二重）.
即
对于 求解：
即
先取
（特征向量）。
再取
第三十四页，共40页。
于是
注意：P，J 不唯一。
亦可取
则
（非特征向量）。
第三十五页，共40页。
方阵A的Jordan标准形的结构有以下特点：
1 .J 中子Jordan阵的个数等于A互异特征值的个数；
2. 每个子Jordan阵的阶数等于对应特征值的代数重数；
3. 每个子Jordan阵中Jordan块的个数等于对应特征值
的几何重数。
第三十六页，共