线和椭圆的交点问题
1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。
解法一：由可得，
∴即∴且
解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭
圆恒有交点，则即
线和椭圆的交点问题
1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。
解法一：由可得，
∴即∴且
解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭
圆恒有交点，则即
当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即综
述：且
解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，
即∴且
二、直线截椭圆所得弦长问题
2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长.
解法一：设A、B两点坐标分别为和
将直线方程代入椭圆方程
得对于的方程
∴
又。
∴AB长为。
1
解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点∴
∴AB长为
。
评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。
三、直线截椭圆所得弦中点相关问题
3．已知椭圆方程为，求：
1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；
2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；
3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。
解析：设直线与椭圆交点为，，则
①
②
①－②得
③
（1）∵弦中点坐标为（
4，1），∴
，
，
则由③式得直线斜率为
∴直线方程为，即。
（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④又∵∴
，即轨迹方程为。
（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解
2
而，∴⑤
将⑤代入④可适当时，直线
与椭圆相交于和,中点为（4，0），经考证，也在上述椭圆
上∴轨迹方程为。
3
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