线和椭圆的交点问题 ,求实数m的取值范围。解法一:由可得,∴即∴且解法二:直线恒过一定点(0,1)当时,椭圆焦点在轴上,短半轴长,要使直线与椭圆恒有交点,则即当时,椭圆焦点在轴上,长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点,即综述:且解法三:直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点(0,1)在椭圆内部,即∴且二、直线截椭圆所得弦长问题 ,直线交椭圆于AB,求AB的长. 解法一:设A、B两点坐标分别为和将直线方程代入椭圆方程得关于的方程∴又。∴AB长为。解法二:∵直线过(1,0)点,即椭圆的右焦点∴∴AB长为。评注:法二利用了椭圆的焦半径公式,椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题 ,求: (1)中点为(4,1)的弦所在直线的方程; (2)斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹; (3)过点(4,3)的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析:设直线与椭圆交点为,,则①②①-②得③(1)∵弦中点坐标为(4,1),∴,, 则由③式得直线斜率为∴直线方程为,即。(2)设弦中点坐标为,则由③式可得④又∵∴,即轨迹方程为。(3)同(2),可知轨迹上的点是方程④的解而,∴⑤将⑤代入④可得当时,直线与椭圆相交于和,中点为(4,0), 经验证,也在上述椭圆上∴轨迹方程为。
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