大摆幅单摆的运动研究——陆文杰.ppt

大摆幅单摆的运动研究
物理科学与技术工程学院
陆文杰
1582年的一个礼拜天，18岁的伽利略发现教堂中的吊灯来回摆动。随着时间消逝，摆幅亦逐渐减少。然而他惊异地发现,无论吊灯摆动的幅度或大或小,摆动一次所用的时间总是相等大摆幅单摆的运动研究
物理科学与技术工程学院
陆文杰
1582年的一个礼拜天，18岁的伽利略发现教堂中的吊灯来回摆动。随着时间消逝，摆幅亦逐渐减少。然而他惊异地发现,无论吊灯摆动的幅度或大或小,摆动一次所用的时间总是相等的。伽利略回家之后，经过多次试验，发现单摆振动的周期与振幅无关。伽利略首先发现单摆的等时性。后来惠更斯在《摆钟》等论文当中提

出单摆周期为
在我们教科书上，给出的单摆周期公式为： 。但
是公式的适用范围在摆幅小于等于5度以内，而对于大摆幅单摆而言，这一公式则不适用。那么为什么当初伽利略在观察吊灯的时候会认为吊灯摆幅无论变大还是变小，摆动一次所用的时间总是相等呢？那是因为吊灯的吊绳十分长，而无论是摆幅还是摆幅的变化，对于吊绳的长度而言都是十分微小的。所以吊灯的摆角是十分小的，符合公式适用的范围。而我们观察公式，单摆小摆幅摆动的周期至于吊绳长以及重力加速度有关，而与摆角无关，这也就反过来解释了伽利略观察到的现象。
那么如果单摆的最大摆角大于5度，甚至是更大的时候，单摆的周期仍然是 吗？如果不是，那么大摆幅单摆的周期与什么因素有关呢？误差又是多少呢？
我们不妨研究一个单摆，如右图。假设单摆最大摆角为θ ，当单摆摆到α角时，
为了比较计算值和公式，我们令 ，
这样我们就可以通过比较γ来比较计算值和公式值之间的差异
但是 是不可以用基础函数求得。对于我
们大一学生的高数知识而言，求解是不可能的。唯一可行的就是通过数学软件来求解。而我利用的是maple12来求解！
第一步：我们需要设置好θ的定义域在0到90度，这样积分的时候就不会出错了：
第二步：求解积分。利用数学软件当中的语言，我们把
写成： ，得到
结果为 。很显然答案并
非是一个基础函数，但是我们从结果中可以发现，周期与θ
有关！
第三步：生成图像。那么如何直观的观察γ是如何随着θ的
变化而变化呢？我们不妨作出γ-θ的图像来。我们在
maple当中输入 ，生成的图像为：
经过整理后的图像为：
`
通过图像我们得到的结论是：
，γ将会变大，单摆的周期也将会增大。
，而在30度到90
度之间则变化较为明显。
，γ值的变化十分小，即单摆的周期变化
十分小。所以单摆的摆幅在0到5度的时候可以近似的认为周
期公式为 。
通过上述结论分析，我们可以利用其中一些性质应用在
实际生活以及生产当中。比如：
利用单摆的等时性，我们可以做成摆钟。
傅科摆实验证明地球在自传
克特可倒摆可以用来测量重力加速度。

在一根长杆上有一些重物。杆上有两个刀口，分别在重心两边。设两个刀口距离重心为h1,h2。分别以两个刀口为支点进行微角度简谐运动，考虑力矩，可以计算得摆动周期T1,T2有以下关系
参考文献及网页：
涂伟霞 《由浅入深学maple》 国防工业大学出版社
《新概念物理力学》高等教育出版社
《大摆幅单摆的运动研究》
4. 维基百科
在此我要感谢我的副院长陈敏教授无私地给予我帮助，非常感谢他教会我应该如何学习物理研究物理！另外我也要特别感谢刘莹同学给予我的鼓励以及帮助！
谢谢观看