单摆运动的最大摆角分析.doc

大学物理研究性论文
题目
单摆运动的最大摆角分析
作者
张耀远、党陕青、罗钧文、李冻玲
所属学院
化学工程学院
专业年级
化学工程与工艺10-4创新班
指导教师
张鹏
职称
教授
写作时间
2011-12-18
单摆运动的最大摆角的分析
摘要:本文推导了在一般情况下单摆可近似为周期运动的摆角。基于其公式用传统方法较难求解且误差较大,本文给出了用MATLAB求解该角度的方法,并且进一步分析了摆长、摆角对测量重力加速度的影响,从而确定实验中的摆角范围。
关键词: 单摆简谐振动摆长最大摆角
Abstract: This paper deduced the periodic motion can be approximately the angular in general. Based on its formula is hardly solved by the traditional methods and have much error, This paper uses the MATLAB software to solve the Angle problem, And further analyzes the Cycloid length, Cycloid Angle which have a influence on the measure of gravity acceleration, To determine the scope of the swinging Angle.
前言:单摆问题是高中物理及大学普通物理教学中的一个典型问题。作为一种准简谐振动,该实验具有较高的理论意义及较强的应用价值。应用其解决问题时要满足最小角,方可近似为简谐运动,在理想状态下推导该最小角时遇到了积分上的麻烦,而且会带来系统误差。本文给出了用MATLAB处理该问题的方法。传统的关于最大角给出了多种结论,如:甚至。单摆最大角的计算和单摆周期的计算紧密相连,而在实际过程中,单摆的周期要受多种因素影响,这些因素也进而影响最大角。
一、周期和角度的关系
如图所示,设单摆的摆锤处于最低点时势能为零,摆角为时摆锤上升的高度为:
(1)
单摆的总的机械能为:
(2)
摆锤达到最大摆角时,,其机械能为:

不计空气阻力影响,则单摆的机械能守恒,由式、得:

化简为:

令
则式变为:

由式可得:

因为,所以可不计式被积函数二次方以上项的影响,于是有

二、最大偏角的影响因素
由上文推出的公式可知:
,其中,。理想情况下,周期公式为:,下面讨论在不同的实验要求精度下求出最大偏角。
在实验中测量重力加速度时,不同摆角对测量重力加速度的结果会产生影响,根据误差传递公式,周期测量误差对重力加速度的影响:,结果见表1[1]。
表1 不同摆角对重力加速度测量误差的影响
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