线性叠加原理的几个应用.docx

线性叠加原理
线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法，在数学物理
中有最强的应用。实际上我们能够解析解决的所有问题都与之有关。
先举个简单例题，在系统介绍
+++++++++++++++++++++++++++++++++++线性叠加原理
线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法，在数学物理
中有最强的应用。实际上我们能够解析解决的所有问题都与之有关。
先举个简单例题，在系统介绍
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求一个整数N,被11出余5,被7除余2
这是孙子兵法问题，有通常的解法。我们用线性叠加原理讲解其 道理。
N 可以分解为下面三个数的组合：
求整数N1,被11除余5,被7除余0
求整数N2,被11除余0,被7除余2
求整数N1,被11除余0,被7除余0
N=N1+N2+m N3
注意N3随意加几次都不会改变余数，因此可以加m次。
还可以化简为
N 可以分解为下面三个数的组合：
求整数N1,被11除余1,被7除余0
求整数N2,被11除余0,被7除余1
求整数N1,被11除余0被7除余0
N=5N1+2N2+m N3
注意每次加入N1都不改变7除余数，而使11除余数增加1,加
5次就能使 11 除余数变为 5，以此类推。
这样问题变得简单多了。
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+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 再举个例子
计算满足
a = 2a — 3a + 5n
n+1 n n-1
数列通解
可以简化为下面两个特解的组合
即 a 二 b + Cc + Dd
n n n n
b = 3b - 2b + 5 n
n +1 n n -1
c 二 3c — 2c
n +1 n n -1
d 二 3d — 2d
n +1 n n -1
值得注意的是 C 和 D 可以是任意常数
猜特解的办法是，先尝试多项式，再尝试指数，再尝试组合，一 般根据源项形式猜
如 第一方程猜解为 b =a 5 n+l ,带入 a (5 n+2 — 3 - 5 n+1 + 2 - 5 n )二 5 n，比
n
较可以得到a 二 1/(25-15 + 2)二 1/12，b 二5n+i/12
n
第——个猜冃解 c二九n带入尢n+1 — 3尢n + 2尢n-1 = 0，可得九=1，九=2
n
这样也把第三个特解也求出来了 c二1，d二2n
nn
因此原方程通解为a = b + Cc + Dd = 5 n+1/18 + C + D 2 n
n n n n
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 再举个微分方程组的例子
y' + 2 Z 二 12
y' — z'二 8exp(t)
可以简化为下面几个个特解的组合
y' + 2 z'二 t2
y'-z'二0
y' + 2 z ' = 0
y' — z ' = exp(t)
y' + 2z ' = 0
y' — z ' = 0
第一方程猜解为 y二z二at3 ,带入a⑼2)二12，比较可以得到