2009-2015年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解).doc

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(每小题7分,共70分)
=1,则cos(α+β)= .
{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,=-5,则k= .
、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e= .
=,则实数x= .
,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=,则点A、B到平面PQR的距离的比值为.
(x)=log3x-,则满足f(x)≥0的x的取值范围是.
,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、,则净水水箱中最少可以存水 cm3.
△ABC的外心,AB=13,AC=12,则·= .
{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=,则此数列的前2009项的和为.
,0≤b<=2b(a+b),则b= .
二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)
,直线x-2y+4=0与椭圆+=1交于A,B两点,,F,A,B为顶点的四边形的面积.
,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=.
+≤k对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.
14.⑴写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;
⑵是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009年5月3日8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题7分,共70分)
=1,则cos(α+β)= .填0.
解:由于|sinα|≤1,|cosβ|≤1,现sinαcosβ=1,故sinα=1,cosβ=1或sinα=-1,cosβ=-1,
∴α=2kπ+,β=2lπ或α=2kπ-,β=2lπ+πÞα+β=2(k+l)π+(k,l∈Z).
∴ cos(α+β)=0.
{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,=-5,则k= .填11.
解:设公差为d,则得
55=-5×11+×11×10dÞ55d=110Þd=2.
ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)Þk=11.
、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e= .填.
解:由(2b)2=2c×2aÞa2-c2=acÞe2+e-1=0Þe=.
=,则实数x= .填1.
解:即=Þ32x-4×3x+3=0Þ3x=1(舍去),3x=3Þx=1.
,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=,则点A、.
解:A、.
VAPQR=VAPQD=×VAPCD=××VABCD=VABCD;
又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1--×)SBCD=SBCD,
VRBPQ=VRBCD=×VABCD=VABCD.
∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4.
又,可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值:
在面BCD内,延长PQ、BD交于点M,则M为面PQR与棱BD的交点.
由Menelaus定理知,··=1,而=,=,故=4.
在面ABD内,作射线MR交AB于点N,则N为面PQR与AB的交点.
由Menelaus定理知,··=1,而=4,=1,故=.
∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4.
(x)=log3x-,则满足f(x)≥[3,4].
解:定义域(0,4].在定义域内f(x)单调增,且f(3)=(x)≥0的x的取值范围为[3,4].
,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、,则净水水箱中最少可以存水