高一上学期《函数单调性的证明》练习题.doc

高一上学期?函数单调性的证明?练习题
1．函数y=f〔x〕对于任意x、y∈R，有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕﹣1，当x＞0时，f〔x〕＞1，且f〔3〕=4，那么〔　　〕
A．f〔x〕在R上是减函数，且f〔1〕=3 B．f〔x〕在f〔x〕的单调性进行证明即可．
【解答】解：函数F〔x〕=为〔0，+∞〕上减函数，证明如下：
任设x1，x2∈〔0，+∞〕且x1＜x2，
∵y=f〔x〕在〔0，+∞〕上为增函数，
∴f〔x1〕＜f〔x2〕，f〔x1〕＜0，f〔x2〕＜0，
F〔x1〕﹣F〔x2〕=﹣=，
∵f〔x1〕＜f〔x2〕，
∴f〔x2〕﹣f〔x1〕＞0，
∵f〔x1〕＜0，f〔x2〕＜0，
∴f〔x1〕•f〔x2〕＞0，
∴F〔x1〕﹣F〔x2〕＞0，
即F〔x1〕＞F〔x2〕，
那么F〔x〕为〔0，+∞〕上的减函数．
3．函数y=f〔x〕在〔0，+∞〕上为减函数，且f〔x〕＜0〔x＞0〕，试判断f〔x〕=在〔0，+∞〕上的单调性，并给出证明过程．
【分析】首先，设x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1＜x2，然后，比拟大小，从而得到结论．
【解答】解：函数为〔0，+∞〕上增函数，证明如下：
任设x1，x2∈〔0，+∞〕且x1＜x2，
∵y=f〔x〕在〔0，+∞〕上为减函数，
∴f〔x1〕＞f〔x2〕，f〔x1〕＜0，f〔x2〕＜0，
=，
∵f〔x1〕＞f〔x2〕，
∴f〔x2〕﹣f〔x1〕＜0，
∵f〔x1〕＜0，f〔x2〕＜0，
∴f〔x1〕•f〔x2〕＞0，
∴g〔x1〕﹣g〔x2〕＜0，
∴为〔0，+∞〕上的增函数．
4．函数f〔x〕对任意x，y∈R，总有f〔x〕+f〔y〕=f〔x+y〕，且当x＞0时，f〔x〕＜0，f〔1〕=﹣．
〔1〕求f〔0〕；
〔2〕求证：f〔x〕在R上是减函数；
〔3〕求f〔x〕在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【分析】〔1〕令x=y=0⇒f〔0〕=0；
〔2〕令y=﹣x即可证得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合即可证得f〔x〕是R上的减函数；
〔3〕利用f〔x〕在R上是减函数可知f〔x〕在[﹣3，3]上也是减函数，易求f〔3〕=﹣2，从而可求得f〔x〕在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【解答】解：〔1〕令x=y=0，那么f〔0〕=0；
〔2〕令y=﹣x，那么f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，
在R上任意取x1，x2，且x1＜x2，那么△x=x2﹣x1＞0，△y=f〔x2〕﹣f〔x1〕=f〔x2〕+f〔﹣x1〕=f〔x2﹣x1〕
∵x2＞x1，
∴x2﹣x1＞0，
又∵x＞0时，f〔x〕＜0，
∴f〔x2﹣x1〕＜0，即f〔x2〕﹣f〔x1〕＜0，
由定义可知函数f〔x〕在R上为单调递减函数．
〔3〕∵f〔x〕在R上是减函数，
∴f〔x〕在[﹣3，3]上也是减函数．
又f〔3〕=f〔2〕+f〔1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3×〔﹣〕=﹣2，
由f〔﹣x〕=﹣f〔x〕可得f〔﹣3〕=﹣f〔3〕=2，
故f〔x〕在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．
5．函数f〔x〕对任意a，b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕+f〔b〕﹣1，且当x＞0时，f〔x〕＞1．
〔Ⅰ〕求证：f〔x〕是R 上的增函数；
〔Ⅱ〕假设f〔﹣4〕=5，解不等式f〔3m2﹣m﹣3〕＜2．
【分析】〔Ⅰ〕设实数x1＜x2，那么x2﹣x1＞0，利用可得f〔x2﹣x1〕＞1．再利用可得f〔x2〕=f〔x2﹣x1+x1〕=f〔x2﹣x1〕+f〔x1〕﹣1＞1+f〔x1〕﹣1=f〔x1〕即可；
〔Ⅱ〕令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f〔﹣2〕=3，f〔﹣1〕=2，不等式f〔3m2﹣m﹣3〕＜2．化为f〔3m2﹣m﹣3〕＜f〔﹣1〕，由〔1〕可得：f〔x〕在R上是增函数．可得3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得即可．
【解答】解：〔Ⅰ〕证明：设x1＜x2，那么x2﹣x1＞0，
∵当x＞0时，f〔x〕＞1，∴f〔x2﹣x1〕＞1．
又函数f〔x〕对任意a，b∈R都有f〔a+b〕=f〔a〕+f〔b〕﹣1，
∴f〔x2〕=f〔x2﹣x1+x1〕=f〔x2﹣x1〕+f〔x1〕﹣1＞1+f〔x1〕﹣1=f〔x1〕，
∴f〔x2〕＞f〔x1〕，
∴f〔x〕在R上是增函数；
〔Ⅱ〕令a=b=﹣2，那么f〔﹣2﹣2〕=f〔﹣2〕+f〔﹣2〕﹣1=5，解得f〔﹣2〕=3，
再令a=b=﹣1，那么f〔﹣1﹣1〕=f〔﹣1〕+f〔﹣1〕﹣1=3，解得f〔﹣1〕=2．
不等式f〔3m2﹣m﹣3〕＜2．化为f〔3m2﹣m﹣3〕＜f〔﹣1〕．
由〔1〕可得：f〔x〕在R上是增函数．
∴3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得