球的内切外接问题.ppt

球
五分钟练习:
1、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,则
球的体积比原来增加了___________ 倍;
2、两个半径为 1 的铁球,熔化后成铸成一
个球,这个大球的半径为_________。
思考:体积为 3 的正方体内接于球,则
球的体积为( )
A. B. C. D.
C
A1
A
C1
O
设正方体棱长为 a,
球半径为 R
C
变题:长方体的共顶点的三个侧面积分别
为、、,则它的外接球的表面积
为__________
C
A1
A
C1
O
设长方体的长宽高分别为a、b、c
例1、半球内有一个内接正方体,正方体的
一个面在半球的底面圆内,若正方体的一
边长为,求半球的表面积和体积。
O
A
C
C1
A1
过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面α,
则α截半球面得半圆,截正方体得一矩形,且
矩形内接于半圆,如图所示。
O1
A
B
E
O
O1
A
B
E
O
1
例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为
内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
过侧棱AB与球心O作截面( 如图)
在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高
O1 是正△BCD的中心,且AE 为斜高
O1
A
B
E
O
O1
A
B
E
O
1
例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为
内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
设内切球半径为 r,则 OO1 = 1 -r
作 OF ⊥ AE 于 F
F
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
O1
A
B
E
O
1
θ
在 Rt △ AO1E 中
在 Rt △ OO1E 中
例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为
内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为
内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
O
A
B
C
D
设球的半径为 r,则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
练习、三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6,
其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积。
O
A
B
C
D
6
5
5
6
5
5
E
取 CD 的中点 E,连 AE、BE
∵ AC = AD = BC = BD,
∴ CD ⊥ AE ,CD ⊥ BE,
∵AE∩BE = E,
∴CD ⊥面ABE
∵ AD = BD = 5,DE = 3
∴ AE = BE = 4
即 S △ABE =