24223切线长定理和三角形的内切圆.ppt

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·
P
·
O
A
B
c
如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,OP交⊙O于C,若PA=6,PC=2,求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。
解:连接OA、AC,则OA⊥AP
在Rt△AOP中,设OA=x
则OP=x+2
∴OA2+PA2=OP2
即x2+62=(x+2)2
解得x=2,即OA=OC=2
∴OP=4
在Rt△AOP中,OP=2OA
∴∠APO=30°
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠APB=2∠APO=60°
∴⊙O的半径为2,两切线的夹角为60°
利用切线长定理进行证明
·
A
B
C
D
E
O
2
1
例2
如图,已知:在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB于点E,交AC与点D。求证:DE∥OC
证明:连接BD.
∵∠ABC=90°,OB为⊙O的半径
∴CB是⊙O的切线
∵AB是⊙O的切线,D是切点
∴CD=CB,∠1=∠2
∴OC⊥BD
∵BE是⊙O的直径
∴∠BDE=90°,即DE⊥BD
∴DE∥OC
如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?
A
B
C
三角形的内切圆的定义:
A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形叫圆的外切三角形
定义
思考:
如图,是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
C
A
B
D
E
F
⊙I与△ABC的三边相切于点D、E、=IE=IF=⊙I的半径r.
问题1:作圆的关键是什么?
问题2:怎样确定圆心的位置?
问题3:圆心的位置确定后怎样确定圆的半径?
A
B
C
(确定圆心和半径)
(作两条角平分线,其交点就是圆心的位置)
(过圆心作三角形一边的垂线,垂线段的长就是圆的半径)
作圆,使它和已知三角形的各边都相切
已知:△ABC(如图)
求作:和△ABC的各边都相切的圆
问题4:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?
(不 能) 任何一个三角形都只有一个内切圆
思考:
如何作出这个圆?(尺规作图)
I
C
A
B
E
D
F
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
3、以I为圆心,ID为半径作⊙I,⊙I就是所求的圆.
例1作圆,使它和已知三角形的各边都相切
已知:△ABC(如图)
求作:和△ABC的各边都相切的圆
A
B
C
M
N
I
D
作法:1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为I.
2、过点I作ID⊥BC,垂足为D.
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
②三角形的内心到三边的距离相等
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
定义:和多边形各边都相切的圆
叫做,这个
多边形叫做。
多边形的内切圆
圆的外切多边形
内切
外切
如上图,四边形DEFG是⊙O的四边形,
⊙O是四边形DEFG的圆,
D
E
F
G
.O
思考:我们所学的平行四边形,矩形,菱形,正方
形,等腰梯形中,哪些四边形一定有内切圆?
(菱形,正方形一定有内切圆)
定义
明确
;
;

分线的交点;
。