空间几何体的外接球内切球问题.docx

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心的通法
空间几何体的外接球、内切球问题
外接球问题
.棱锥的外接球
三棱锥都有外接球;底面有外接圆的任意棱锥都有外接球
先找到棱锥底面的外接圆的圆心D,过D作底面的垂线DP交一侧棱的中垂面于O,点O即为外接球的球心。
练习:
三棱锥S-ABC的各顶点都在同一球面上,若SB丄平面ABC,SB=6,AB=AC=2ZBAC=120。,则此球的表面积等于 。
点A、B、C、D均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,AD丄平面ABC,AD=2AB=6则该球的体积为 。
,AB=BC=CD=DA=3,AC=2訂,
BD仝,则该球的表面积为 ( )

补成长方体或正方体,再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习:
-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,且OA=OB=2OC=2a,则三棱锥
O-ABC外接球的表面积为( )


已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA丄平面ABC,AB丄BC,SA=AB=1,BC=-J2,则球O表面积等于
(A)4兀 (B)3兀 (C)2兀 (D)兀
一个正四面体的所有棱长都为穆2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()

4•四面体的三组对棱分别相等,分别为<5,10,'13,求它的外接球的体积。
公共边所对的两个角为直角确定球心法
练习
,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为
!5兀
125

12
2•空间四边形ABCD中,AB二1,BC仝,AD=迈,DC=迈,则空间四边形
ABCD的外接球的表面积为

正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆,该圆的半径等于外接球的半径.
练习:
1正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为、莎,S、A、B、C、D都在同
一球面上,则此球的体积为 .
2•正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为1和侧棱长为,S、A、B、C、D、E、
F都在同一球面上,则此球的表面积为 .
3•表面积为2运的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
A.
D.

底面有外接圆的直棱柱才有外接球。确定棱柱外接球球心的通法
直棱柱才可能有外接球。先找到棱柱两个底面的外接圆的圆心P、D,取PD的中点0,点0即为外接球的球心。
1•已知三棱柱ABC—ABC的6个顶点都在球O的球面上若AB
AB丄AC,AA]二12,则球O的半径为

111
2•直三棱柱ABC—ABC的各顶点都在同一球面上,AB=AC=AA=2,
1111
ZBAC二120。,则此球的表面积等于 。
-ABC内接于半径为2的球,若A,B两点的球面距离为兀,则
111
正三棱柱的体积为 •
一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在
9
同一个球面上,且该六棱柱的体积为—,底面周长为3,则这个球的体积为 .
8

棱台上下底面的有外接圆的圆心O、O,且OO垂直于底面的棱台才有外
1
0O必垂直于底面),球心在
1
C1
接球。先找到棱台上下底面的外接圆的圆心0O,
1
直线0O上为G,再根据BG=GB,确定点G。
11
练习:
—ABCVAB二4,AB二1,AA=
2,求正三棱台ABC—ABC外接球的表面积及体积。 11 1
—ABCD,AB—4,AB=1,AA=4,求正正四棱ABCD—ABCD
**********外接球的表面积及体积它的表面积及体积。
、圆柱、圆台的外接球利用轴截面截球为大圆法半径
圆锥、圆柱、圆台都有外接球。圆锥、圆柱、圆台的外接球的一个轴截面为
大圆,该圆的半径等于外接球的半径.
练习:
1•圆锥的底面面积是9兀,它的外接球半径为5,则圆锥的体积是 。
、16兀,它的外接球半径为5,则圆台的表面积是 。
3•在圆柱OO]中,OB—1,CB—2,它的它的外接球的体积是 。
4•圆台的上底面面积分别是4兀、,圆台的母线为2,轴截面图形的一角为60,
则它的外接球表面积是 。
内切球问题
。若棱锥有内切球,则求棱锥的内切球半径方法:
体积法,所求半径的3倍为棱锥的体积除以棱锥所有面的面积和。
轴截面法:利用轴截面截球为大圆求半径
练习
正四面体棱长为2,则它的外接球的表面积是 ;内切球的体积
是 ;与所有棱相切的球的表面积 。
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为、莎,正四棱锥S-ABCD内切
球的体积为 .
正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为1和侧棱长为j5,正六棱锥S-ABCDEF
内切球的表面积为 .
4•(与面相切)
直棱柱才可能有内切球。若棱柱有内切球,则棱柱底面的内切圆半径即为内切球的半径,直棱柱的高为内切球的直径。
,AB=AC=2,ZBAC二120°,则直三棱柱ABC一ABC内
111111
切球的表面积等于 。
-ABC内切球半径为2,则正三棱柱的体积为 .
111
4•一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,其内切球的表面积是4兀,则这个六棱柱的表面积为 •
,求棱台的内切球半径方法
,所求半径的3倍为棱锥的体积除以棱锥所有面的面积和。
2•轴截面法:利用轴截面截球为大圆求半径
—ABCD,AB二4,AA二4,若正四棱ABCD—ABCD有
**********内切球,则内切球的的表面积
、圆柱、圆台的内切球
任意圆锥都有内切球。求圆锥内切球半径的方法。圆锥轴截面内切圆的半径就是内切球半径。只有轴截面为正方形的圆柱有内切球
圆台不一定有内切球。求圆台内切球半径的方法,若圆台有内切球,则内切球的半径就是圆台轴截面的内切圆的半径,也是圆台高的一半。
练习
,它的内切球半径为1,则圆锥的表面积是 。
2•圆台的上下底面面积分别是9兀、25兀,它的内切球半径为4,则圆台的表面积是 。
特殊几何体的外接球、内切球
正方体
正方体的棱长为a,则正方体的外接球的半径字;正方体的内切球的半径a
22
与正方体;所有棱相切的球的半径警
2
练习
正方体全面积是24,求:
(1) 它的外接球的体积为 ;
(2) 它的内切球的表面积为 ;
(3) 与它所有棱相切的球的大圆周长为
正方体ABCD-ABCD的棱长为1,以B为球心,表面积为8“的球面与正方
11111
体底面ABO相交的截痕为弧,求弧长。
正四面体
正四面体的棱长为a,则正四面体的外接球的半径导;正四面体的内切球的
4
半径6a;与正四面体所有棱相切的球的半径琴
12 4
练习
-3,求:
它的外接球的体积为 ;
它的内切球的表面积为 ;
与它所有棱相切的球的大圆周长为 正八面体
正八面体的棱长为a,则正八面体的外接球的半径亘;正四面体的内切球的
2
半径6a;与正四面体所有棱相切的球的半径a
62
^3,求:
它的外接球的体积为 ;
它的内切球的表面积为 ;
与它所有棱相切的球的大圆周长为
能力提升
1..,S、O在平面ABC的同侧,其中ZB=120。,AB=BC=2,平面SAC丄平面ABC,棱锥S-ABC的体积的最大值为吕,则球0的表面积是
A.
18兀,
C.
解析:
最大
ABC外接圆的圆心为O,可得外接圆半径为2,设SD丄AC交AC于D,可得SD丄平面ABC,要使SD最大,则OD最小。
1
所以OD=1,因为OO丄平面ABC,有OO〃SD
111
过O作OE丄SD交SD于E,有OE=OD。
1
设球O半径为R。SD=ED+SE=x-R2-OC2+jR2—OD2
引 1 中 1
=^R2-4+PR2—1二3,解得R=45
所以球O的表面积为25
选D。因为△ABC面积一定,
需S到平面ABC的距离最大,易得最大值3。设三角形
要使棱锥S-ABC的体积
)
-ABC,SA=SC=AC=2迈,AB=BC=2,二面角S-AC-B=120求三棱锥S-ABC外接球的体积。