初中二次函数知识点汇总 (2).pdf

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★二次函数知识点汇总★
2
:一般地,如果yaxbxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.
ax2的性质
(1)抛物线yax2(a0)的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号
关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点
为其最高点
2
axbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
yax2bxcyaxh2k
:的形式,其中
b4acb2
h,k.
2a4a
,可分为以下几种形式:
22222
①yax;②yaxk;③yaxh;④yaxhk;⑤yaxbxc.
:开口方向、对称轴、顶点.
①a决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x,y轴记作直线x0.
,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开
口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法
222
2b4acbb4acb
(1)公式法:yaxbxcax,∴顶点是(,),对称轴是直线
2a4a2a4a
b
x.
2a
2
(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,得到顶点为(h,k),对称
轴是xh.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的
垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★:.
ax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
yax2bxcb
(2),故:
2a
①b0时,对称轴为y轴;②b(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
0
a
③b(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
0
a
c2
(3)的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,则b.
0
a
:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
yax2
x0(y轴)(0,0)
yax2k当a0时
x0(y轴)(0,k)
2开口向上
yaxhxh(h,0)
2当a0时
yaxhkxh(h,k)
开口向下
b2
2b4acb
yaxbxcx(,)
2a2a4a:.

2
(1)一般式:yaxbx、y的值,通常选择一般式.
2
(2)顶点式:yaxh,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2.

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)
22
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ahbhc).
(3)抛物线与x轴的交点
2
二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方
程
2
axbxc
别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
③没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相
2
等,设纵坐标为k,则横坐标是axbxck的两个实数根.
2
(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交点,由
方程组
ykxn
2的解的数目来确定:
yaxbxc
①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
Ax,0,Bx,0,由于x、x是方程ax2bxc0的两个根,故
1212
bc
x1x2,x1x2
aa:.
22
22b4cb4ac
ABx1x2x1x2x1x24x1x2
aaaa
:
22
(1)一元二次方程yaxbxc就是二次函数yaxbxc当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、
没有交点;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当
2
y0时自变量x的值,即一元二次方程axbxc0的根.
2
(3)当二次函数yaxbxc的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程
yax2bxc有两个不相等的实数根;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个
交点时,则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根;当二次函数
yax2bxc的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax2bxc0没有实数根
:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数
关系;
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表
达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
二次函数知识点
一、二次函数概念:
:一般地,形如yax2bxc(a何何bc是常数,a0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,
数.
ax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,:.
⑵a何何bc是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
:yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随
a0向上0何0y轴
x的增大而减小;x0时,y有最小值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随
a0向下0何0y轴
x的增大而增大;x0时,y有最大值0.
2.
yax2c的性质:
上加下减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随
a0向上0何cy轴
x的增大而减小;x0时,y有最小值c.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随
a0向下0何cy轴
x的增大而增大;x0时,y有最大值c.
3.
2
yaxh的性质:
左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随
a0向上h何0X=h
x的增大而减小;xh时,y有最小值0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随
a0向下h何0X=h
x的增大而增大;xh时,y有最大值0.
2
axhk的性质:
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随
a0向上h何kX=h
x的增大而减小;xh时,:.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随
a0向下h何kX=h
x的增大而增大;xh时,y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
:
2
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h何k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h何k处,具体平移方法如下:

【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【【【(h>0)【【【(h<0)【
【【|k|【【【【【|k|【【【
【【(k>0)【【【(k<0)【
【【|k|【【【
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yax2bxc变成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
22
⑵yaxbxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yaxbxc变成
22
ya(xm)b(xm)c(或ya(xm)b(xm)c)
22
四、二次函数yaxhk与yaxbxc的比较
22
从解析式上看,yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,
222
b4acbb4acb
即yax,其中h何k.
2a4a2a4a
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与
y轴的交点0何c、以及0何c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1何0,x2何0(若与
x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).:.
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
bb4acb2
0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为何.
2a2a4a
bbb
当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y有最小值
2a2a2a
4acb2
.
4a
bb4acb2b
0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为何.当x时,y随
2a2a4a2a
bb4acb2
x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值.
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛
物线与x轴有交点,即b24ac0时,
形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下,
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a:.
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
b
ab的符号的判定:对称轴x在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是
2a
“左同右异”
总结:

⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a何何bc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,
目的特点,选择适当的形式,,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是yaxhk;

yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是yaxhk;

yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是yaxhk;
(即:抛物线绕顶点旋转180°):.
b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2a
22
yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是yaxhk.
m何n对称
22
yaxhk关于点m何n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,
物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
①当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax,0,,Bx0(xx),其中的x,x是一元二次
121212
b24ac
方程ax2bxc0a0xx.
21
a
②当0时,图象与x轴只有一个交点;
③当0时,图象与x轴没有交点.
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
ax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判
断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个
交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
0抛物线与x轴有两二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根
个交点:.
⑸0抛物线与x轴只有二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根与二
次一个交点函数
有
还点有二
次三项
2
式,二次三项式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a0时为例,揭示二次函数、
二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
图像参考:
y=2x2
y=x2
x2
y=
2
x2
y=-
2
y=-x2
y=-2x2
y=2x2+2
y=2x2
y=2x2-4
y=2x2y=2(x-4)2
y=2(x-4)2-3:.
y=3(x+4)2
y=3x2
y=3(x-2)2
y=-2(x+3)2
y=-2x2y=-2(x-3)2
十一、函数的应用
何何何何

二次函数应用何何何何何何何何
何何何何何何何

二次函数考查重点与常见题型
、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
22
已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点,则m的值是
、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykx2bx1的图像大致是(
)
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔:.
性的综合题,如:
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x,求这条抛物线的解析式。
3
、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
3
已知抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
2c
例1(1)二次函数yaxbxc的图像如图1,则点M(b,)在()
a

(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3
时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,()

(1)(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在
点(O,2):①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为()

答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式
:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=2,则抛物线的顶点坐标为()
A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)
答案:C
例4、(2006年烟台市)如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB
,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,
三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、
对称轴.
125
例5、已知抛物线y=x+x-.
22
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2):.
:二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x,0),B(x,0)两点(xx),
1212
交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB.
(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存在,请你求出M点
的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.
(1)解:如图∵抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,O),
则x1·x2=3<0,又∵x1<x2,
∴x2>O,x1<O,∵30A=OB,∴x2=-3x1.
∴x1·x2=-3x12=-3.∴x12=1.
x1<0,∴x1=-1.∴.x2=3.
∴点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3
∴.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO.
(2)解:点A关于y轴的对称点A’(1,O),
∴直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).
∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.
当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时,∠MCO>∠ACO.
12
例7、“已知函数yxbxc的图象经过点A(c,-2),
2
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画
出二次函数图象;若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
点评:对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论
“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,
而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
12
[解答](1)根据yxbxc的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得
2
12
cbcc2,
2

b
3,
1
2
2
b3,
解得
c2.
12
所以所求二次函数解析式为yx3x。
2
12
(2)在解析式中令y=0,得x3x20,解得x135,x235.
2
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是:.
(35,0).
5
令x=3代入解析式,得y,
2
125
所以抛物线yx3x2的顶点坐标为(3,),
22
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。
2
函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=,
使矩形PNDM有最大面积.
【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,,也给学生探索解题思路留下了思维空间.
例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如
下表:
x(元)152030…
y(件)252010…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
15kb25,
【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+解得k=-1,b=40,即一次函数表达式
2kb20
为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元
w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用