导数中含参数单调性及取值范围.doc

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应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考压轴题.
含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间,令导数小于0,解得减区间.)
例1(2012西2)已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在原点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
(Ⅰ)解:当时,,.………………2分
由,得曲线在原点处的切线方程是.…………3分
(Ⅱ)解:.………………4分
①当时,.所以在单调递增,在单调递减.………………5分
当,.
②当时,令,得,,与的情况如下:
【解析】由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:当时,,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
已知函数其中.
(I)若曲线在处的切线与直线平行,求的值;
(II)求函数在区间上的最小值.
解:,..........................................2分
(I)由题意可得,解得,........................................3分
此时,在点处的切线为,与直线平行
故所求值为1.........................................4分
(II)由可得,,........................................5分
①当时,在上恒成立,所以在上递增,.......6分
所以在上的最小值为.........................................7分
②当时,
-
0
....................................10分
+
极小
由上表可得在上的最小值为.......................................11分
③当时,在上恒成立,
所以在上递减.......................................12分
所以在上的最小值为......................................13分
综上讨论,可知:当时,在上的最小值为;当时,在上的最小值为;当时,在上的最小值为.
练习1已知函数.(2012海淀一模)
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
2(2012顺义2文)(.本小题共14分)
已知函数,其中
(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求的单调区间.
3(2012朝1)18.(本题满分14分)
已知函数,.
(Ⅰ)若函数在时取得极值,求的值;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间.
二参数范围
有单调性时分离常数法
例(东2)已知函数.
(Ⅰ)若,求在处的切线方程;
(Ⅱ)若在上是增函数,求实数的取值范围.
解:1)由,,,………1分
所以.…………3分
又,
所以所求切线方程为即.…………5分
(Ⅱ)由已知,得.
因为函数在上是增函数,
所以恒成立,即不等式恒成立.………………9分
………………11分
+
极小值
的变化情况如下表:
由此得的取值范围是.………………13分
练习1(2012怀柔2)设,函数.
(Ⅰ)若是函数的极值点,求实数的值;
(Ⅱ)若函数在上是单调减函数,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ).
因为是函数的极值点,所以,即,
,当时,是函数的极值点.
即.----------------------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)由题设,,又,
所以,,,
这等价于,不等式对恒成立.
令(),
则,---------------------------10分
所以在区间上是减函数,
所以的最小值为.----------------------------------------------------12分
.-----------------------------------13分
2(2012石景山1)已知函数.
(Ⅰ)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.
分类讨论求参数
例2(2012昌平1)已知函数.(为实数)
(I)当时,求的最小值;
(II)若在上是单调函数,求的取值范围
解:(Ⅰ)由题意可知:……1分
当时…….2分
当时,当时,……..4分
故.…….5分
(Ⅱ)由
①由题意可知时,,在时,符合要求…….7分
②当时,令
故此时在上只能是单调递减
即解得…….9分
当时,在上只能是单调递增即得
故…….11分
综上…….13分
根据性质求范围 )
(零点例(2012昌平2)已知函数
(,为常数),
且为的一个极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数有3个不同的零点,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)……1分∵f′(x)=……2分
∴,则a=1.………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
∴f′(x)=………6分
由f′(x)>0可得x>2或x<1,由f′(x)<0可得1<x<2.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞),
单调递减区间为(1,2).………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
且当x=1或x=2时,f′(x)=0.………10分
∴f(x)的极大值为………11分
f(x)的极小值为……12分
由题意可知则………14分
最值例(2012海2)已知函数(,).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意,有
成立,:.
令,解得或.……………………………………2分
(Ⅰ)当时,,随着的变化如下表
↘
极小值
↗
极大值
↘
函数的单调递增区间是,函数的单调递减区间是,.……………………………………4分
当时,,随着的变化如下表
↘
极小值
↗
极大值
↘
函数的单调递增区间是,函数的单调递减区间是,.……………………………………6分
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)得是上的增函数,是上的减函数.
又当时,.……………………………………8分
所以在上的最小值为,最大值为……10分
所以对任意,.
所以对任意,使恒成立的实数的最小值为.……13分