抽象函数奇偶性对称性周期性总结.docx

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.看法:抽象函数是指没有给出详尽的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个连结点,由于抽象函数没有详尽的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,因此做抽象函数的题目需要有慎重的逻辑思想能力、丰富的想象力以及函数知识灵便运用的能力
1、周期函数的定义:
关于f(x)定义域的每一个
x,都存在非零常数
T,使得f(xT)
f(x)恒成立,则
称函数f(x)拥有周期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(kZ,k
0)也是f(x)的周
期,所有周期中的最小正数叫
f(x)的最小正周期。
分段函数的周期:设y
f(x)是周期函数,在任意一个周期的图像为
C:yf(x),
xa,b,Tba。把y
f(x)沿x轴平移KT
K(ba)个单位即按向量
(kT,0)平移,即得yf(x)在其他周期的图像:
yf(xkT),x
kT
a,kTb。
f(x)
f(x)
x
a,b
f(x
kT)
x
kT
a,kT
b
2、奇偶函数:
设yf(x),x
a,b或x
b,a
a,b
①若f(
x)
f(x),则称y
f(x)为奇函数;
②若f(
x)
f(x)则称y
f(x)为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性:
(1)中心对称即点对称:
①点A(x,y)与B(2a
x,2b
y)关于点(a,b)对称;
②点A(a
x,b
y)与B(a
x,b
y)关于(a,b)对称;
③函数y
f(x)与2b
y
f(2a
x)关于点(a,b)成中心对称;
④函数b
yf(a
x)与b
y
f(ax)关于点(a,b)成中心对称;
⑤函数F(x,y)
0与F(2a
x,2by)0关于点(a,b)成中心对称。
(2)轴对称:对称轴方程为:
Ax
By
C0
。
①点A(x,y)与B(x/,y/)B(x
2A(AxByC)
,y
2B(AxByC))关于
A2
B2
A2
B2
直线Ax
By
C
0成轴对称;
②函数y
f(x)与y
2B(Ax
By
C)
f(x
2A(Ax
By
C))关于直线
A2
B2
A2
B2
Ax
By
C
0成轴对称。
③
F(x,y)
与
2A(Ax
By
C)
2B(Ax
By
C))
0关于直线
0F(x
A2
B2
,y
A2
B2
Ax
By
C
0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数yf(x)图象自己的对称性(自己对称)
若f(xa)f(xb),则f(x)拥有周期性;若f(ax)f(bx),则f(x)
拥有对称性:“同表示周期性,反表示对称性”。
1、f(ax)
f(b
x)
yf(x)图象关于直线x
(a
x)(bx)
ab对称
2
2
推论1:f(a
x)
f(ax)
yf(x)的图象关于直线
x
a对称
推论2、f(x)
f(2a
x)
y
f(x)的图象关于直线
x
a对称
推论3、f(
x)
f(2a
x)
y
f(x)的图象关于直线
x
a对称
2、f(ax)
f(b
x)
2c
y
f(x)的图象关于点(a
b,c)对称
2
推论1、f(a
x)
f(a
x)
2b
yf(x)的图象关于点(a,b)对称
推论2、f(x)
f(2a
x)
2b
y
f(x)的图象关于点(a,b)对称
推论3、f(
x)
f(2a
x)
2b
y
f(x)的图象关于点(a,b)对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数y
f(x)与y
f(x)图象关于Y轴对称
2、奇函数y
f(x)与y
f(x)图象关于原点对称函数
3、函数y
f(x)与y
f(x)图象关于X轴对称
4、互为反函数
yf(x)与函数y
1
x对称
f(x)图象关于直线y
(a
x)与y
f(b
x)图象关于直线x
b
a
2
对称
推论1:函数y
f(ax)与y
f(a
x)图象关于直线x
0对称
推论2:函数y
f(x)与y
f(2a
x)图象关于直线
x
a对称
推论3:函数y
f(x)与y
f(2a
x)图象关于直线
x
a对称
(三)抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a-x)(2)f(2a-x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(-x)
性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若关于定义域的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数
函数y=f[g(x)]为偶函数。
定义2、若关于定义域的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复
合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]
=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是
f[-g(x)]=-f[g(x)]。
(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x
+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)
(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x
=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中
心对称
推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数,若关于函数y=f(x)定义域的任一变量x点有以下条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)
f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必
为周期函数,且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函
数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|
、函数对称性的应用
(1)若y
f
(x)关于点(h,k)对称,则xx/
2h,y
y/
2k,即
f(x)
f(x/)
f(x)
f(2hx)
2k
f(x1)
f(x2)
f(xn)
f(2h
xn)
f(2h
xn1)
f(2h
x1)
2nk
(2)例题
1
、f(x)
ax
关于点(
1
1
f(1
x)
1;
ax
2
,)对称:f(x)
a
2
f(x)
4x
1
关于(,)对称:
f(x)
f(x)2
2x
1
2x1
01
f(x)
1
(
R,x
0)关于(
1
1
f(
1
)
1
x
1
2
,)对称:f(x)
x
2
2
、奇函数的图像关于原点(
0,0)对称:f(x)
f(
x)
0。
3
、若f(x)
f(2ax)或f(a
x)f(a
x),则y
f(x)的图像关于直线x
a对
称。设
f(x)
0有n个不同样的实数根,则
x1x2
xn
x1
(2a
x1)
x2
(2a
x2)
xn
(2axn)
na.
2
2
(当n
2k
1时,必有x1
2a
x1,
x1
a)
(四)常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f(xT)f(x)(T0)yf(x)的周期为T,kT(kZ)也是函数的周期
2、f(xa)f(xb)yf(x)的周期为Tba
3、f(xa)f(x)yf(x)的周期为T2a
4、f(x
a)
1
y
f(x)的周期为T
2a
f(x)
5、f(x
a)
1
y
f(x)的周期为T
2a
f(x)
6、f(x
a)
1
f(x)
y
f(x)的周期为T
3a
1
f(x)
7、f(x
a)
1
y
f(x)的周期为
T2a
f(x)
1
8、f(x
a)
1
f(x)
y
f(x)的周期为T
4a
1
f(x)
9、f(x
2a)
f(x
a)f(x)
y
f(x)的周期为T
6a
10、若p
0,f(px)
f(px
p
),
则T
p.
2
2
11、y
f(x)有两条对称轴x
a
和x
b(ba)
y
f(x)周期T
2(b
a)
推论:偶函数y
f(x)满足f(a
x)
f(ax)
y
f(x)周期T
2a
12、y
f(x)有两个对称中心
(a,0)和
(b,0)
(b
a)
y
f(x)周期T2(ba)
推论:奇函数
y
f(x)满足f(a
x)
f(ax)
y
f(x)周期T
4a
13、y
f(x)有一条对称轴x
a和一个对称中心
(b,0)(b
a)
f(x)的T
4(ba)
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常有种类
灵便应用函数奇偶性、周期性与对称性,碰巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分
。
求函数值
例1.(1996年高考题)设f(x)是(,)上的奇函数,f(2x)f(x),当
0x1时,f(x)
x,则f()等于(-)
(A);
(B)-;
(C);
(D)-.
例2.(1989
年市中学生数学竞赛题)已知
f(x)是定义在实数集上的函数,且
f(x2)1f(x)1f(x),f(1)23,求f(1989)(1989)32。
2、比较函数值大小
1
例3.
若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数,当
x
0,1时,
f
( )
x
1998
,
试比较
x
f(
98
101
104
)、f(
)、
f(
)的大小.
19
17
15
1
解:
f(x)(x
R)是以2为周期的偶函数,又
f(x)
x1998在0,1
上是增函数,且
0
1
16
14
1,f(1)
f(16)
f(14),即f(101
f(98)
f(104).
17
19
15
17
19
15
17
19
15
3、求函数解析式
例4.(1989年高考题)设
f(x)是定义在区间
(
,
)上且以2
为周期的函数,对
k
Z,用Ik表示区间(2k
1,2k
1),已知当x
I0时,f(x)
(x)在Ik上的解
析式.
解:设x
(2k
1,2k
1),
2k
1
x
2k
1
1
x
2k
1
x
I0时,有
f(x)x2,
由1
x
2k
1得f(x
2k)
(x
2k)2
f(x)是以2
为周期的函数,
f(x
2k)
f(x),
f(x)
(x
2k)2
.
(x)是定义在(
,
)上以2为周期的周期函数,且
f(x)是偶函数,在区
间2,3上,f(x)
2(x
3)2

1,2时,f(x)的解析式.
解:当x
3,2,即
x
2,3,
f(x)
f(x)
2(x3)2
4
2(x3)2
4
又f(x)是以2为周期的周期函数,于是当
x
1,2
,即3
x
4
2时,
有f(x)
f(x
4)
f(x)
2(x4)
32
4
2(x
1)2
4(1
x
2).
f(x)
2(x
1)2
4(1
x
2).
4、判断函数奇偶性
例6.
已知f(x)的周期为
4,且等式f(2
x)
f(2x)对任意x
R均成立,
判断函数f(x)的奇偶性.
解:由f(x)的周期为
4,得f(x)
f(4
x),由f(2
x)
f(2
x)得
f(x)f(4x),f(x)f(x),故f(x)为偶函数.
5、确定函数图象与x轴交点的个数

f(x)对任意实数x满足f(2
x)
f(2
x),f(7x)
f(7x)且f(0)
0,判断函数f(x)图象在区间
30,30
上与x轴最少有多少个交点.
解:由题设知函数
f(x)图象关于直线
x
2
和x
7
对称,又由函数的性质得
f(x)
0,10上,
f(0)
0,f(4)
f(22)
f(22)
f(0)
0且f(x)不能够恒为零,
故f(x)图象与x轴最少有
2个交点.
而区间
30,30
有6个周期,故在闭区间
30,30上f(x)图象与x轴最少有
13个交
点.
6、在数列中的应用
例8.
在数列
an中,a1
3,an
1
an1(n
2),求数列的通项公式,并计算
1
an1
a1a5
a9
a1997.
解析:此题的思路与例
2思路近似.
解:令a1
tg
1
a1
1
tg
tg(
)
,则a2
a1
1
tg
1
4
1
a2
1
tg(
4
)
a3
tg(2
)
1
a2
4
1
tg(
4
)
an1
tg
(n
1)
,于是an
1
an
1
tg(n1)
4
1
an
1
4
不难用归纳法证明数列的通项为:
an
tg(
n
),且以
4为周期.
4
4
于是有1,5,9
1997是以4为公差的等差数列,
a1
a5
a9
a1997,由1997
1
(n
1)
4得总项数为
500项,
a1
a5
a9
a1997
500
a1
5003.
7、在二项式中的应用
,试求今天后的第9292天是星期几?
解析:转变成二项式的张开式后,利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
解:9292(911)92C9209192C9219191C9290912C9291911
9292
(7131)92
C920
(713)92
C921(713)91
C9290(713)2
C9291(713)1
由于张开式中前92项中均有
7这个因子,最后一项为
1,即为余数,
故9292
天为星期四.
8、复数中的应用
例10.
(市1994年高考题)设
z
1
3i(i是虚数单位),则满足等式zn
z,且
2
2
大于1的正整数n中最小的是
(A)3
;
(B)4
;
(C)6
;
(D)7.
解析:运用z
1
3i方幂的周期性求值即可.
2
2
解:
z
n
z
,
(
n11)0
z
n1
1
,
zz
z3
1,
n
1必定是3的倍数,即n1
3k(kN),
n
3k
1(k
N).
k1时,n最小,
(n)min
(B)
9、解“立几”题
—A1B1C1D1是单位长方体,黑白二蚁都从点
A出发,沿棱向前爬行,每走
一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1A1D1,黑蚁爬行的路线是
:所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必
须是异面直线(其中iN).设黑白二蚁走完第1990段后,各停止在正方体的某个极点处,
这时黑白蚁的距离是
(A)1;(B)2;(C)3;(D)0.
解:依条件列出白蚁的路线AA1A1D1D1C1C1CCB
BAAA1,:黑白二蚁走
完六段后必回到起点,能够判断每六段是一个周期.
1990=63314,因此原问题就转变成考虑黑白二蚁走完四段后的地址,不难计算出
在走完四段后黑蚁在D1点,白蚁在C点,故所求距离是2.
例题与应用
例1
:f(x)
是R上的奇函数f(x)=-f(x+4)
,x∈[0,2]时f(x)=x
,求f(2007)
的值
例2
:已知f(x)
是定义在R上的函数,且满足
f(x+2)[1
-f(x)]=1+f(x)
,f(1)=2
,求
f(2009)
的值。故f(2009)=f(251
×8+1)=f(1)=2
例3
:已知f(x)
是定义在R上的偶函数,f(x)=f(4-x)
,且当x
2,0时,f(x)=-
2x+1
,则当x
4,6
时求f(x)
的解析式
例4:已知f(x)是定义在R上的函数,且满足
f(x+999)=
1
-x),
,f(999+x)=f(999
f(x)
试判断函数f(x)
的奇偶性.
例5
:已知f(x)
是定义在R上的偶函数,f(x)=
f(4-x)
,且当x
2,0时,f(x)
是减
函数,求证当x
4,6时f(x)
为增函数
例6
:f(x)
满足f(x)=-f(6-x)
,f(x)=f(2-x),若f(a)
=-f(2000)
,a∈[5,9]且f(x)
在[5,9]
.
例7
:已知f(x)
是定义在R上的函数,f(x)=f(4
-x),f(7+x)=f(7
-x),f(0)=0
,
求在区间[-1000,1000]
上f(x)=0最少有几个根?
解:依题意f(x)
关于x=2,x=7对称,类比命题
2(2)可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x)
∴f(10)=f(0)=0
又f(4)=f(0)=0
即在区间(0,10]上,方程f(x)=0
最少两个根
又f(x)
是周期为
10的函数,每个周期上最少有两个根,
因此方程f(x)=0
2000
在区间[-1000,1000]上最少有1+2
=401个根.
10
例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象之间(D)
==(5,0)(1,0)对称
解:据复合函数的对称性知函数y=-f(x+4)与y=f(6-x)之间关于点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,应选D。(原卷错选为C)
例2、设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。(2001年理工类第22题)
例3、设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时f(x)=x,则f()等于(-)(1996年理工类第15题)
例4、设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是(C)
,,,,但不是周期函数六、牢固练习
1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=
f(6-x)的图象()。
==1对称
(5,0)(1,0)对称
2、设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,
f(x)=x,则f()=()。
.-


.-
3、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足f(10+x)=f(10
f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()。
,,但不是周期函数

-x),
,又是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于

,但不是周期函数
x=1对称,证明f(x)是周期函数。
参照答案:D,B,C,T=2。
5、在数列{xn}中,已知

x1

x2

1,xn2

xn1

xn(n

N*),求x100=-1.