导数与微分习题.doc

第二章导数与微分
【内容提要】

设函数y=f(x)在x0的某邻域(x0-δ,x0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时,相应地,,极限存在,则称函数y=f(x)在x=x0处可导,称此极限值为f(x)在点x0 处的导数,记为
或或或或
时,改变量比值的极限称f(x)在x0处的右导数,记为。
时,改变量比值的极限称f(x)在x0处的左导数,记为。

导数的几何意义:是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。
导数的物理意义:路程对时间的导数是瞬时速度v(t0) 。以此类推,速度对时间的导数是瞬时加速度a(t0)。

定理若函数在点x0处可导,则函数在点x0处一定连续。
此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。

定理1(代数和求导法则)若u(x)和v(x)都在点x处可导,则
定理2(积的求导法则)若u(x)和v(x)都在点x处可导,则
定理3(商的求导法则)若u(x)和v(x)都在点x处可导,且v(x)≠0,则
定理4 若函数在点x处可导,且在其相应点u处可导,则复合函数
在x处可导,且
或

本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数,整理所下:








这些基本导数公式必须熟记,与各种求导法则、求导方法配合,可求初等函数的导数。

设函数在点x处可导,则称函数在x点的导数与自变量增量Δx的乘积为函数在x处的微分,记为
若,则Δx=dx,即自变量的微分等于自变量的改变量,因此函数的微分可记为
由可知,先计算函数的导数,再乘以dx或Δx,就得到函数的微分dy。

由可知,微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、法则和方法,可以直接得到微分基本公式和运算法则:








微分的运算法则如下:
四则运算法则:当u、v可微时,
d(u±v)=du±dv
d(uv)=vdu+udv
d(Cu)=Cdu
,(v≠0)
复合函数的微分法则:
设函数y=f(x)可微,当x是自变量时,;当x是中间变量x=g(t)时,复合函数y=f[g(t)]的微分为。
就是说,不论x是中间变量还是自变量,函数y=f(x)的微分都可以表示为。由于表达形式一致,称之为一阶微分的形式不变性。

由微分的定义可知,当很小时,可以用函数的微分代替函数改变量,误差仅为的高阶无穷小,即
由,得到近似公式
记x=x0+Δx,近似公式可以写为
若取x0=0,则得到当| x |很小时,的近似公式
微分还可以用来估计误差。若,测量时产生的绝对误差为,当很小时,函数的绝对误差、相对误差分别计算为
,
【习题解答】
2-1 求下列函数的导数。
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) y=(x2+3)tanx;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) y=secxtanx+cscxcotx;
(9) ; (10) 。
解(1) (2)
(3) (4) y'=2xtanx + (x2+3)sec2x
(5) (6)
(7)
(8) y' = secxtan2x + sec3x - cscxcot2x - csc3x
(9) (10)
2-2 设f(x)=cosxsinx,求、。
解 f ' (x) = - sinxsinx + cosxcosx = cos2x
= 1 = -1
2-3 设,求、。
解
= 1 = 5 /9
2-4 求曲线y=4x2+4x-3在点(1,5)处的切线和法线方程。
解 y' = 8x + 4 k = 12
切线方程 12x - y -7 = 0
法线方程 x + 12y - 61 = 0
2-5 物体运动方程为s=t+sint,求物体运动的速度和加速度。
解
2-6 求下列各函数的导数。
(1) ; (2) y=cosaxsinbx;
(3) y=ln2x; (4) y=lncosx;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8);
(9) ; (10)。
解(1) 解
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2-7 求下列各隐函数的导数。
(1) y2=apx; (2) x2+y2-xy=1;
(3) x3+y3-3axy=0; (4) y=1-xey。
解(1) y