函数连续函数可微函数可导偏导数存在偏导数连续间关系.docx

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即设y=f(x)是一个单变量函数,若是y在x=x0处存在导数y′=f′则(x),称y在
x=x[0]处可导。
若是一个函数在x0处可导,那么它必定在x0处是连续函数。
函数可导定义:
1)设f(x)在x0及其周边有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,则称f(x)在x0处可导。
2)若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。连续函数可导条件:函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限,若是极限存在,则为可导,若所得导数等于函数在该点的函数值,则函数为连续可导函数,否则为不连续可导函数
2、连续
函数连续必定同时满足三个条件:函数在x0处有定义;x->x0极限limf(x)存
在;x->x0时limf(x)=f(x0)
定理有:函数可导必定连续;不连续必定不可以导。
3、可微
定义:设函数y=f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系y=A×Δx+ο(x)
其中A与Δx没关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A×Δx
当x=x0时,则记作dy∣x=x0.
可微条件:
必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这
点连续,则该函数在这点可微。
4、可积函数定义
若是f(x)在[a,b]上的定积分存在,我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。
函数可积的充分条件
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类中止点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
可积的必要条件:
被积函数在闭区间上有界。
总结:
对于一元函数:
函数连续不用然可导比方y=|x|
可导必定连续即连续是可导的必要不充分条件,可导是连续的充分不
必要条件
函数可导必定可微
可微必可导即可导是可微的必要充分条件