函数单调性判断方法计划.docx

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函数单一性判断方法计划
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函数单一性判断方法计划
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若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上拥有(严格的)单一性,区
间D叫做函数y=f(x)的单一区间.

函数函数表达式单一区间特别函数图像
一
当k
0时,y在R上是增函数;
次
ykxb(k0)
函
0时,y在R上是减函数。
数
当k
当a
0时,x
b
时y单一减,
ax2
2a
y
bx
c
x
b时y单一增;
二
(a
0,a,b,c
R)
2a
b时y单一增,
次
当a
0时,x
函
2a
数
b
时y单一减。
2a
当k
0时,
y在x
0
时单一减,在
x
0
反
k
比
y
时单一减;
x
例
函
(k
R且k
0)当k
0时,
y在x
0
时单一增,在
x
0
数
时单一增。
当a
1时,y在R上是增函数;
指
yax
当0
a1,时y在R上是减函数。
数
函
(a
0,a
1)
数
当a
1时,y在(0,
)上是增函数;
对
y
loga
x
数
a1时,y在(0,
)上是减函数。
函
当0
数
(a
0,a
1)
.
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典例分析
题型一、复合函数单一性判断及应用
使用状况:简单的复合函数种类
解题模板:第一步先求函数的定义域;
第二步分解复合函数,分别判断内外层函数的单一性;
第三步依据同增异减,,则它们的复
合函数为增函数;若两个简单函数的单一性相反,“同增异减”.
【例1】(x23x2)的单一区间;
【变式练习
1】已知定义在R上的函数y
f(x)是偶函数,且x
0时,f(x)ln(x2
2x2).
(1)当x
0时,求f(x)分析式;
(2)写出
f(x)的单一递加区间.
【变式练习2】已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单一递加区间为()
A.(-∞,1]B.[3,+∞)
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C.(-∞,-1]D.[1,+∞)
[小结]
(1)单一区间是定义域的子集,故求单一区间时应建立“定义域优先”的原则.
(2)单一区间只好用区间表示,不可以用会合或不等式表示;若有多个单一区间应分开写,不可以用并集符
号“∪”连接,也不可以用“或”连接.
(3)函数的单一性是函数在某个区间上的“整体”性质,因此不可以可是依据某个区间内的两个特别变量
x1,x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单一性,必然保证这两个变量是区间内的随意两个自变
量.
题型二、分段函数单一性判断及应用
使用状况:分段函数的单一性问题
解题模板:第一步
经过察看分析,决定怎样对自变量进行分类;
第二步
依据旧有函数的单一性,分别计算每段函数的单一性;
第三步
知足函数在整个区间上是增函数(或减函数)
,即左段的函数的最大值(或最小值)
小于等于右段函数的最小值(或最大值)
;
第四步
得出结论.
【例1】
已知函数f
x2,x0,
,
上是增函数,则常数a的取值
x
a2
3a2,x
在区间
x3
,0
范围是
(
)
,2
B
.
,1U
2,
,2
D
.
,1U2,
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1】函数f
x2
4x,x
4
fx在区间(a,a+1)上单一递加,则实
【变式练习
x
x,x
,若函数y
log2
4
数a的取值范围是(
)
A.(-
,1
]B.[1,4]
C.[4,+)D.(-
,1]∪[4,+)
(3a1)x
4a,x
1
a的取值范围是
【变式练习
2】已知函数f(x)
x
在R是单一函数,则实数
.
logax,
1
【例2】设函数g(x)
x2
2(xR),f(x)
g(x)
x
4,xg(x),则f(x)的值域是(
)
g(x)
x,x
g(x)
A.[0,
)
B
.[
9
,)
4
C.[
9,0]U(1,
)
D
.[
9,0]U(2,
)
4
4
(x
a)2,x
0,
【例3】
f(x)
1
若f(0)是f(x)的最小值,则
a的取值范围为(
).
x
a,x
0,
x
(A)[-1,2]
(B)[-1
,0]
(C)[1,2](D)[0,2]
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2
3,x
1
3】已知函数f(x)
x
,f(x)的最小值是
【变式练习
x
,则f(f(3))
lg(x2
1),x
1
[小结]
1、最值问题
使用状况:分段函数的最值问题
解题模板:第一步经过察看分析,决定怎样对自变量进行分类;
第二步依据旧有函数的最值,分别计算每段函数的最值;
第三步知足函数在整个区间上的最值,即比较每段函数的最值大小,谁最大谁是最大值,
谁最小谁是最小值;
第四步得出结论.
2、单一性问题
其一是分段函数在每一个区间上的增函数(或减函数)与整体函数同样;其二是知足函数在整个区间上是
增函数(或减函数),即左段的函数的最大值(或最小值)小于等于右段函数的最小值(或最大值).
题型三、抽象函数的单一性
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【例1】已知奇函数f(x)的定义域为2,2,且在2,0内递减,求知足:f(1m)f(1m2)0的
实数m的取值范围.
【例2】定义在上的偶函数知足:,在区间与上分别递加和递减,
则不等式的解集为.
【变式
练习1】设奇函数f
(x)在区间[1,1]上是增函数,且f(1)

[1,1]时,函数
f(x)
t2
2at
1,对全部a
[1,1]恒建立,则实数
t的取值范围为(
)

t
2
B.
t
2或t
2

D.
t
2或t
2或t0
【变式练习
2】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(
-,0)
f(2a1)
f(2),则a的取值范围是______
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[小结]不等式中的数形联合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常有的“以形助数”的方法有:
借助数轴,运用数轴的相关见解,解决与绝对值相关的问题,解决数集的交、并、补运算特别有效.
借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形联合的基本方法,需注意的问题是正确掌握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转变.
题型四、函数单一性判断方法(性质)的应用
函数单一性的性质:
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增
+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单一性同样;若k<0,则kf(x)与f(x)单一性相反;
(3)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=1单一性相反;
fx
(4)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=fx单一性同样;
(5)奇函数在其对于原点对称的区间上单一性同样,偶函数在其对于原点对称的区间上单一性相反.
【常有判断方法】
方法一
定义法
使用状况:一般函数种类
解题模板:第一步
取值定大小:设随意x1,x2
D,且x1x2
;
第二步
作差:f(x1)
f(x2);
第三步
变形(归并同类项、通分、分解因式、配方等)
;
第四步
定符号;
第五步
得出结论.
【例1】
判断并证明:
f(x)
1
在(
,0)上的单一性.
1
x2
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【变式操练1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)x21.
x
(1)求f(x)的表达式;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(0,)上的单一性.
方法二导数法
使用状况:较复杂的函数种类
解题模板:第一步求函数f(x)的定义域;
第二步求导f(x);
第三步在定义域范围内解不等式f(x)0或f(x)0;
第四步得出函数f(x)的增减区间.
【例2】已知函数f(x)(a1)lnxax21,讨论函数f(x)的单一性;
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【变式练习2】已知函数f(x)(x)的单一递减区间;
【应用】
应用(一)比较函数值或自变量的大小
[例3]已知函数f(x)的图象对于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒建立,设a
1
=f-2,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为()
>a>>b>a
>c>>a>c
应用(二)解函数不等式
[例4]f(x)是定义在(0,+∞)上的单一增函数,知足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,
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x的取值范围是(
)
A.(8,+∞)
B.(8,9]
C.[8,9]
D.(0,8)
[方法技巧]
用单一性求解与抽象函数相关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数相关的不等式时,常常是利用函数的单一性将“f”符号脱掉,使其转变为详细的不
.
(2)有时,在不等式一边没有符号“f”时,需转变为含符号“f”(a)=0,f(x-b)<0,则
f(x-b)<f(a).
应用(
三)
求参数的取值范围
[例5]
(1)假如函数f(x)=ax2+2x-3
在区间(-∞,4)上是单一递加的,则实数
a的取值范围是()
A.-1,+∞
B.-1,+∞
4
4
C.-
1,0
D.-1,0
4
4
-x2+4x,x≤4,
(2)设函数f(x)=
若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单一递加,则实数
a的取值范围
2
logx,x>4.
是()
A.(-∞,1]
B.[1,4]
C.[4,+∞)
D.(-∞,1]∪[4,+∞)
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