函数单调性判断方法.docx

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当时，在R上是增函数；
当时，在R上是减函数。
二次函数
当时，时单调减,
时单调增；
当时，时单调增，时单调减。
反比例函数
且
当时,在时单调减，在时单调减；
当时,在时单调增，在时单调增。
指数函数
当时，在R上是增函数；
当，时在R上是减函数。
对数函数

当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数。
典例分析
题型一、复合函数单调性判断及应用
使用情景：简单的复合函数类型
解题模板：第一步 先求函数的定义域；
第二步 分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；
第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间. 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
【例1】 求函数的单调区间；
【变式练习1】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.
（1）当时，求解析式；
（2）写出的单调递增区间.
【变式练习2】已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
[小结]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
题型二、分段函数单调性判断及应用
使用情景：分段函数的单调性问题
解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；
第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；
第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；
第四步 得出结论.
【例1】 已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是 （
）
A． B． C． D．
【变式练习1】函数，若函数在区间（，+1）上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A.（-，1 B.[1, 4] , +） D.(-,1∪[4, +）
【变式练习2】已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【例2】 设函数，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】 若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
【变式练习3】已知函数，则 ，的最小值是
[小结]
1、最值问题
使用情景：分段函数的最值问题
解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；
第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；
第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；
第四步 得出结论.
2、单调性问题
其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.
题型三、抽象函数的单调性
【例1】已知奇函数的定义域为，且在内递减，求满足：的实数的取值范围．
【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．
【变式练习1】设奇函数在区间上是增函数，，函数，对