函数单调性判断方法.doc

=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x),在R上是增函数;当时,在R上是减函数。二次函数当时,时单调减,时单调增;当时,时单调增,时单调减。反比例函数且当时,在时单调减,在时单调减;当时,在时单调增,在时单调增。指数函数当时,在R上是增函数;当,时在R上是减函数。对数函数当时,在上是增函数;当时,在上是减函数。典例分析题型一、复合函数单调性判断及应用使用情景:简单的复合函数类型解题模板:第一步先求函数的定义域;第二步分解复合函数,分别判断内外层函数的单调性;第三步根据同增异减,,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,“同增异减”.【例1】求函数的单调区间;【变式练习1】已知定义在上的函数是偶函数,且时,.(1)当时,求解析式;(2)写出的单调递增区间.【变式练习2】已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为( )A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.(-∞,-1] D.[1,+∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质,所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1,x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性,、分段函数单调性判断及应用使用情景:分段函数的单调性问题解题模板:第一步通过观察分析,决定如何对自变量进行分类;第二步根据常见函数的单调性,分别计算每段函数的单调性;第三步满足函数在整个区间上是增函数(或减函数),即左段的函数的最大值(或最小值)小于等于右段函数的最小值(或最大值);第四步得出结论.【例1】已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是().【变式练习1】函数,若函数在区间(,+1)上单调递增,则实数的取值范围是()A.(-,1B.[1,4],+)D.(-,1∪[4,+)【变式练习2】已知函数在是单调函数,则实数的取值范围是.【例2】设函数,则的值域是().【例3】若是的最小值,则的取值范围为().(A)[-1,2](B)[-1,0](C)[1,2](D)【变式练习3】已知函数,则,的最小值是[小结]1、最值问题使用情景:分段函数的最值问题解题模板:第一步通过观察分析,决定如何对自变量进行分类;第二步根据常见函数的最值,分别计算每段函数的最值;第三步满足函数在整个区间上的最值,即比较每段函数的最值大小,谁最大谁是最大值,谁最小谁是最小值;、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数(或减函数)与整体函数相同;其二是满足函数在整个区间上是增函数(或减函数),即左段的函数的最大值(或最小值)小于等于右段函数的最小值(或最大值).题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数的定义域为,且在内递减,求满足:的实数的取值范围.【例2】定义在上的偶函数满足:,在区间与上分别递增和递减,则不等式的解集为.【变式练习1】设奇函数在区间上是增函数,,函数,对一切恒成立,则实数的取值范围为()【变式练习2】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0),则a的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效.(2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”、函数单调性判断方法(性质)的应用函数单调性的性质:(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(3)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=单调性相反;(4)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=单调性相同;(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.【常见判断方法】方法一