高中数学二级结论.pdf

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高中数学二级结论
3V
(V是简单n面体的体积,S是简单n面体的表面积)
S表
表
△ABC内,都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
推论:在△ABC内,若tanA+tanB+tanC<0,则△ABC为钝角三角形
2

4
,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点
1x1
x1、lnxx1exex(x1)
xx、
x2y2
1(a0,b0)的面积S为Sπab
a2b2
:隐函数求导
推论:①过圆(xa)2(yb)2r2上任意一点P(x,y)的切线方程为(xa)(xa)(yb)(yb)r2
0000
x2y2xxyy
①过椭圆1(a0,b0)上任意一点P(x,y)的切线方程为001
a2b200a2b
2
x2y2xxyy
①过双曲线1(a0,b0)上任意一点P(x,y)的切线方程为001
a2b200a2b
2
:平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
xxyy
①圆x2y2DxEyF0的切点弦方程为xxyy0D0EF0
0022
x2y2xxyy
①椭圆1(a0,b0)的切点弦方程为001
a2b2a2b2
x2y2xxyy
①双曲线1(a0,b0)的切点弦方程为001
a2b2a2b2
①抛物线y22px(p0)的切点弦方程为yyp(xx)
00
xyyxxxyy
①二次曲线的切点弦方程为AxxB00CyyD0E0F0
02022
x2y2
9.①椭圆1(a0,b0)与直线AxByC0(A·B0)相切的条件是A2a2B2b2C2
a2b2
x2y2
②双曲线1(a0,b0)与直线AxByC0(A·B0)相切的条件是A2a2B2b2C2
a2b2
、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、
1
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BD的斜率存在且不等于零,并有kk0,(k,k分别表示AC和BD的斜率)
ACBDACBD
x2y2
1(ab0),两焦点分别为F,F,设焦点三角形PFF中PFF,则
a2b2121212
cos12e2(cos12e2)
max
(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x的点P的距离)公式raex
01,20
,k,k为过原点的直线l,l,l的斜率,其中l是l和l的角平分线,则k,k,k满足下述
123123213123
转化关系:
2kkkk2kk1(1kk)2(kk)22kkkk2
k2332,k131313,k2112
11k22kk2kk31k22kk
22313212
bynr的二次方程,过函数上一点(x,y)的切线方程为axxn1byyn1r
1111
f(x)
(x)的渐近线方程为y=ax+b,则lima,lim[f(x)ax]b
xxx
x2y24
1(ab0)绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为Vπab
a2b23

sinBsinCcosAcosBcosC
(x)具有对称轴xa,xb(ab),则f(x)为周期函数且一个正周期为|2a2b|
x2y22mb2
=kx+m与椭圆1(ab0)相交于两点,则纵坐标之和为
a2b2a2k2b2
,y,z,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用,如27,28,29)
ABx2
BCy2
CAz2
2SABBCCA
:
c
椭圆的第二定义:平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率,e)的点的集合(定
a
点F不在定直线上,该常数为小于1的正数)
双曲线第二定义:平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线
kk
:若把直线l依逆时针方向旋转到与l第一次重合时所转的角是,则tanθ=21
121kk
12
1
、B、C三点共线ODmOAnOC,OBOD(同时除以m+n)
mn
2
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x2y2ab
1(a0,b0)上任意一点作两条渐近线的平行线,与渐近线围成的四边形面积为
a2b22
k
(k0)为双曲线,其焦点为(2k,2k)和(2k,2k),k<0
x
:如图,设平面α外的①ABC在平面α内的射影为①ABO,分别记①ABC的面积和①ABO的面
积为S和S′,记①ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ,则cosθ=S′:S
28,角平分线定理:三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理:如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例,
那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
:
定义:方程f(x)x的根称为函数f(x)的不动点
利用递推数列f(x)的不动点,可将某些递推关系af(a)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的
nn1
数列,这种方法称为不动点法
定理1:若f(x)axb(a0,a1),p是f(x)的不动点,a满足递推关系af(a),(n1),则
nnn1
apa(ap),即{ap}是公比为a的等比数列.
nn1n
axb
定理2:设f(x)(c0,adbc0),{a}满足递推关系af(a),n1,初值条件af(a)
cxdnnn111
apapapc
(1)若f(x)有两个相异的不动点p,q,则nkn1这(里k)
aqaqaqc
nn1
112c
(2)若f(x)只有唯一不动点p,则k这(里k)
apapad
nn1
ax2bxc
定理3:设函数f(x)(a0,e0)有两个不同的不动点x,x,且由uf(u)确定着数列
exf12n1n
uxux
{u},那么当且仅当b0,e2a时,n11(n1)2
nuxux
n12n2
3
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30.
nAnBnC
4sinsinsin n4k
222

nAnBnC
4coscoscos n4k1
222
(1)sin(nA)sin(nB)sin(nC),kN*
nAnBnC
4sinsinsin n4k2
222
nAnBnC
4coscoscos n4k3
222
(2)若ABCπ,则:
sin2Asin2Bsin2CABC
①8sinsinsin
sinAsinBsinC222
ABC
②cosAcosBcosC14sinsinsin
222
ABCABC
③sin2sin2sin212sinsinsin
222222
ABCABC
④sinsinsin14sinsinsin
222444
ABC
⑤sinAsinBsinC4sinsinsin
222
ABCABC
⑥cotcotcotcotcotcot
222222
ABBCCA
⑦tantantantantantan1
222222
⑧sin(BCA)sin(CAB)sin(ABC)4sinAsinBsinC
(3)在任意①ABC中,有:
ABC11
①sinsinsin⑥cosAcosBcosCABC3
22288⑫tantantan
2229
ABC3333
②coscoscos⑦sinAsinBsinCABC
22282⑬cotcotcot33
222
ABC33
③sinsinsin⑧cosAcosBcosC⑭cotAcotBcotC3
22222
ABC3
ABC33⑨sin2sin2sin2
④coscoscos2224
2222ABC
⑩tan2tan2tan21
222
33
⑤sinAsinBsinCABC
8⑪tantantan3
222
(4)在任意锐角①ABC中,有:
①tanAtanBtanC333
②cotAcotBcotC
9
4
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③tan2Atan2Btan2C9④cot2Acot2Bcot2C1
:如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线),那么它的三对对边的交点在同
一条直线上
:所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面,
其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高
拟柱体体积公式[辛普森(Simpson)公式]:设拟柱体的高为H,如果用平行于底面的平面γ去截该图形,所得到
的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h的不超过3次的函数,那么该拟柱体的体积V为
1H
V(S4SS)H,式中,S和S是两底面的面积,S是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离h
61021202
时得到的截面的面积)
事实上,不光是拟柱体,其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时
所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积
:设A为面上一点,过A的斜线AO在面上的射影为AB,AC为面上的一条直线,那么
①OAC,①BAC,①OAB三角的余弦关系为:cos①OAC=cos①BAC·cos①OAB(①BAC和①OAB只能是锐角)
abc
△ABC中,C为直角,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则△ABC的内切圆半径为
2
:a3b3(ab)(a2abb2)
立方和公式:a3b3(ab)(a2abb2)
△ABC,O为其外心,H为其垂心,则OHOAOBOC

a2
(ab0)
b2
a2
推论:椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值(ab0)
b2
x2xneθx
1xxn1
2!n!(n1)!
x2
推论:ex1x
2
exax(a2)
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1ax
推论:①t2lnt(t0)②lnx(x0,0a2)
txa
,在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦
(长半轴长)
:
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
(1)OAOBOC0O是ABC的重心
(2)OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心
(3)aOAbOBcOC0O为ABC的内心
(4)OAOBOCO为ABC的外心
:sin2sin2sin()sin()
,过其上任意一点作两直线,若两射线斜率之积为定值,则两交点连线所在直线过定点
11
sin(x)sin(x)
:sinx22
1
2cos
2
2A(AxByC)2B(AxByC)
(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为x,y
A2B2A2B2
ep
:(e为圆锥曲线的离心率)
1ecos
nMM
:若X~H(n,N,M),则E(X)(其中为符合要求元素的频率),
NN
MMn1
D(X)n(1)(1)
NNN1
49.a为公差为d的等差数列,b为公比为q的等比数列,若数列c满足cab,则数列c的前n
nnnnnnn
cq2cc
项和S为Sn1n1
nn(q1)2
x,y,Bx,y,则圆的方程为xxxxyyyy0
11221212
、B两点,则直线AB的斜率为定值
:kCknCk1
nn1
:
(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三三角形个面积相等
(2)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心
(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心
(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心
(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
(7)三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍
a2b2c2
△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则ABAC
2
emenemenmn
>n时,e2
2mn
6
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