外接球专题.pdf

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一、由球的定义确定球心
在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就
是该简单多面体的外接球的球心.
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点,难点,此类问题实质是①确定球心O的
位置②在Rt△用勾股定理求解外接球半径(其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得).
二、球体公式
4
=4=R3
3
三、球体几个结论:
(1)长方体,正方体外接球直径=体对角线长
(2)侧棱相等,顶点在底面投影为底面外接圆圆心
(3)直径所对的球周角为90°(大圆的圆周角)
(4)正三棱锥对棱互相垂直
四、外接球几个常见模型
(正方体)模型
例1(2017年新课标Ⅱ)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则
球O的表面积为()
答案:14
练习1(2016新课标Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
()
答案:12
(圆锥)模型(侧棱相等,底面为正多边形)
球心位置:位于顶点与底面外心连线线段
(或延长线)上
半径公式:R2(hR)2r2(R为外接球半径,
r为底面外接圆半径,h为棱锥的高,r可根
a
据正弦定理2r
sinA
(一边一对角)
,体积为,则这个球的表面积是____
.
【解析】
正四棱锥的高为,体积为,易知底面面积为,底面边长为.
正四棱锥的外接球的球心在它的高上,记为,,
,,在中,,由勾股定理
,球的表面积.
ABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该
三棱锥的外接球体积等于.
24
解析:ABC外接圆的半径为,三棱锥SABC的直径为2R,外接球半
sin603
2
径R,
3
2448323
或R2(R3)21,R,外接球体积VR3
3333327
(直棱柱,圆柱)
(1)侧棱与底面垂直:
球心位置:底面外心正上方,侧棱中垂面
交汇处(高的一半处)
h
半径公式:R2r2()2(,R为外接球半径,
2
r为底面外接圆半径,h为棱锥的高,r可
a
根据正弦定理2r
sinA
(一边一对角)
(2)直棱柱(圆柱)
球心位置:上下底面外心连线中点处
h
公式公式:R2r2()2,(R为外接球半径,r为底面外接圆半径,h
2
a
为棱锥的高,r可根据正弦定理2r
sinA
(一边一对角)
ABC中,SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,
1040
则该四面体的外接球的表面积为()C.D.
33
解析:在ABC中,BC2AC2AB22ABBCcos1207,
BC727
BC7,ABC的外接球直径为2r,
sinBAC33
2
SA1040
R2r2()2,R2,S,选D
233
练习3(1)直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上,若ABACAA2,
1111
BAC120,则此球的表面积等于。
23
解析:BC23,2r4,r2,R5,S20
sin120
(2)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上,则该圆柱的体
积为。
3
答案:
4

例4三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC和△
ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥PABC外接球的半径P
为.
2421
解析:2r2r,rr,OH,
12122
sin60333O
2O
A
14515
R2OH2r2,R;O
213333H1
BC
练面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EAEB3,AD2,AEB60,则多面体EABCD的外接球的表面积
为。16
解析:折叠型,法一:EAB的外接圆半径为r3,OO1,
11
313
ER132;法二:OM,rOD,
12222
AD313
OR24,R2,S16
1O44
M
O
2
B
C
(2)(2017新课标)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径。
若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为
________
答案:36(提示;直径所对的球周角为直角)
:将不规则几何体外接球问题转化为长方体或正方体模型,
实现锥,柱转化
适合条件;
(1)墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
P
PP
c
cc
AbC
CC
ab
bA
AaB
BaB
图1图2图3
P
O2
c
Bb
C
a
A
图4
方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2a2b2c2,即2Ra2b2c2,
求出R
例5(2019新课标Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△
ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积
为

(2)对棱相等模型(补形为长方体)
条件:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(ABCD,ADBC,
ACBD)
第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第二步:设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBCx,ABCDy,ACBDz,
列方程组,
a2b2x2
x2y2z2
b2c2y2(2R)2a2b2c2,
2
c2a2z2
11
补充:Vabcabc4abc
ABCD63
x2y2z2
第三步:根据墙角模型,2Ra2b2c2,
2
x2y2z2x2y2z2
R2,R,求出R
88
BCD中,
ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥
29
ABCD外接球的表面积为。
2
解析:设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长
宽高分别为a,b,c,则a2b29,
b2c24,c2a2162(a2b2c2)941629,
2(a2b2c2)941629,
292929
a2b2c2,4R2,S
222