高三数学专题外接球.docx

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高三数学专题外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．补形法（平面，则三棱锥的外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，
则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：
该几何体的外接球与棱长为a的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C．
5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【解析】因为，，所以，，
因此三角形外接圆半径为，
设外接球半径为，则，，故选D．
6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，
易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：
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，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D选项．
7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，
又，解得：，则球的表面积．本题选择D选项．
8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
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如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，
底面正方形的边长为，，
正四棱锥的体积为，，
则，，
在中由勾股定理可得：，解得，，故选C．
9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，
则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，
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设三棱锥外接球的球心为，
外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，
由，，及，得，∴外接球半径为，
∴该球的表面积．故选A．
10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，中，，，可知是等边三角形，，
∴的外接圆半径，，
∵，可得，可得，∴，∴，
∴四面体高为．
设外接球，为球心，，可得：……①，
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……②
由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A．
11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，，，，
底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，
见图示：
是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．
∴球的半径．该球的表面积为；故选B．
12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，
由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，
平面，∴，同理，∴是与的公垂线，
球心在上，推导出，可以证明为中点，
，，，
∴，球半径，∴外接球的表面积为．
故选D．
二、填空题
13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
【答案】
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，
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