高三数学专题外接球.pdf

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高三数学专题外接球
,长方体的外接球球心是其中心
例1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是()

(补成长方体)
PPP
P
O2
cc
cc
AbC
CCBbC
aba
bA
BAaB
aBA
图1图2图3图4
例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.

例3:已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,底面△ABC满足
π
BABC6,ABC,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为()
2
1632

33
一、单选题
、、的长方体的外接球的表面积为()

,所有棱的长都为23,顶点都在一个球面上,则该球的表
面积为()
:.
,使得平面ABC平面ADC,则三棱锥
DABC的外接
球的表面积为()
.
,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面
积为()

BCD的所有顶点都在球的表面上,AB平面BCD,BCBD2,
AB2CD43,则球的表面积为()

ABCD是边长为1的正方体,SABCD是高为1的正四棱锥,若点,,,,
1111
在同一个球面上,则该球的表面积为()
9254981

16161616
1
,,,三点在球的球面上,球心到平面ABC的距离为R,ABAC2,
2:.
BAC120,则球的表面积为()
16166464

9393
ABCD(底面四边形ABCD是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)
50
的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为10,若该正四棱锥的体积为,则此球
3
的体积为()

,在△ABC中,ABBC6,ABC90,点为的中点,将△ABD沿折起到△PBD
的位置,使PCPD,连接,得到三棱锥P
上,
则该球的表面积是()
.
BCD中,ABCABDCBD60,AB3,CBDB2,则此四面
体外接球的表面积为()
191938π1717π
.
2246
△ABC沿着高折起,使BDC120,若折起后A、B、C、D四点都
在球的表面上,则球的表面积为()
71313

223
BCD中,ABCD6,ACBDADBC5,则该三棱锥的外接球
的表面积为():.
4343π4343π43π

2462
二、填空题
.
,则该正四棱锥内切球的表面积为________.
ABC的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体
111
积为,AB2,AC1,BAC60,则此球的表面积等于______.
BCD中,ABAC,DBDC,ABDB4,ABBD,则三棱锥ABCD
外接球的体积的最小值为_____.
,长方体的外接球球心是其中心
例1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是()

【答案】C
【解析】Va2h16,a2,4R2a2a2h2441624,S24π,故选C.
(补成长方体)
PPP
P
O2
cc
cc
AbC
CCBbC
aba
bA
BAaB
aBA
图1图2图3图4
例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.
【答案】:.
【解析】4R23339,2.
S4πR9π

例3:已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,底面△ABC满足
π
BABC6,ABC,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为()
2
1632

33
【答案】D
△ABC1
【解析】因为是等腰直角三角形,所以外接球的半径是r123,设外接球
2
1
的半径是,球心到该底面的距离,如图,则S63,BD3,由题设
△ABC2
11
VSh6h3,
3△ABC6
最大体积对应的高为SDh3,故R2d23,即R23R23,解之得R2,
432π
所以外接球的体积是πR3,故答案为D.
33
一、单选题
、、的长方体的外接球的表面积为()
:.
【答案】B
22
【解析】设长方体的外接球半径为,由题意可知:222
2R235,则:R3,
该长方体的外接球的表面积为S4πR24π3.
,所有棱的长都为23,顶点都在一个球面上,则该球的表
面积为()

【答案】B
23r2
【解析】设底面三角形的外接圆半径为,由正弦定理可得:2r,则,
sin60
设外接球半径为,结合三棱柱的特征可知外接球半径2
R23227,
外接球的表面积S4πR2.
,使得平面ABC平面ADC,则三棱锥
DABC的外接
球的表面积为()
.
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线对折,使得平面ABC平面ADC,
则三棱锥DABC的外接球直径为AC32,外接球的表面积为4πR218π,故选C.
,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面
积为():.

【答案】C
【解析】由题可知,该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为2a
的正三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为的正三棱锥,另一个是棱长为2a的
正四面体,如图所示:
该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对
3
角线,所以2Ra2a2a23aRa,所以该几何体外接球面积
2
2
3
S4πR24πa3a2π,故选C.

2

BCD的所有顶点都在球的表面上,AB平面BCD,BCBD2,
AB2CD43,则球的表面积为()

【答案】D:.
2
222223
1
【解析】因为BCBD2,CD23,所以cosCBD,
2222
2π
CBD,
3
1CD
因此三角形BCD外接圆半径为2,
2sinCBD
AB2
设外接球半径为,则R2=22+41216,S=4πR264π,故选D.

2
ABCD是边长为1的正方体,SABCD是高为1的正四棱锥,若点,,,,
1111
在同一个球面上,则该球的表面积为()
9254981

16161616
【答案】D
【解析】如图所示,连结AC,BD,交点为,连结SM,
1111
易知球心在直线SM上,设球的半径ROSx,在Rt△OMB中,由勾股定理有:
1:.
2
29
OM2BM2BO2,即:2x2x2,解得:x,则该球的表面积

1128

9281
.本题选择D选项.
S4πR24ππ

816
1
,,,三点在球的球面上,球心到平面ABC的距离为R,ABAC2,
2
BAC120,则球的表面积为()
16166464

9393
【答案】D
【解析】由余弦定理得:BC44222cos12023,
23
设三角ABC外接圆半径为,由正弦定理可得:2r,则r2,
sin120
11664
又R2R24,解得:R2,则球的表面积S4πR2.
433
ABCD(底面四边形ABCD是正方形,顶点在底面的射影是底面的中
50
心)的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为10,若该正四棱锥的体积为,则此
3
球的体积为()

【答案】C
【解析】
:.
如图,设正方形ABCD的中点为,正四棱锥PABCD的外接球心为,
底面正方形的边长为10,EA5,
501250
正四棱锥的体积为,V10PE,
3PABCD33
则PE5,OE5R,
24
在△AOE中由勾股定理可得:5R5R2,解得R3,VπR336π,故选C.
球3
,在△ABC中,ABBC6,ABC90,点为的中点,将△ABD沿折起到△PBD
的位置,使PCPD,连接,得到三棱锥P
上,
则该球的表面积是()
.
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形,且BD平面PCD,
设三棱锥PBDC外接球的球心为,
△PCD外接圆的圆心为,则OO面PCD,∴四边形OODB为直角梯形,
11
77
由BD3,OD1,及OBOD,得OB,∴外接球半径为R,
122
7
∴该球的表面积S4πR24π.
4
BCD中,ABCABDCBD60,AB3,CBDB2,则此四面:.
体外接球的表面积为()
191938π1717π
.
2246
【答案】A
【解析】
由题意,△BCD中,CBDB2,CBD60,可知△BCD是等边三角形,BF3,
233
∴△BCD的外接圆半径rBE,FE,
33
∵ABCABD60,可得ADAC7,可得AF6,∴AFFB,∴AFBCD,
∴四面体ABCD高为AF6.
设外接球,为球心,OEm,可得:r2m2R2……①,
2
6πEF2R2……②
1919
由①②解得:R.四面体外接球的表面积:S4πR2.
82
△ABC沿着高折起,使BDC120,若折起后A、B、C、D四点都在
球的表面上,则球的表面积为()
71313

223
【答案】B:.
【解析】△BCD中,BD1,CD1,BDC120,
底面三角形的底面外接圆圆心为,半径为,由余弦定理得到BC3,再由正弦定理得到
3
2rr1,
sin120
见图示:
是球的弦,DA3,将底面的圆心平行于竖直向上提起,提起到的高度的一半,即为球心
3
的位置,∴OM,在直角三角形OMD中,应用勾股定理得到,即为球的半径.
2
37
∴球的半径OD1.该球的表面积为4πOD27π;故选B.
42
BCD中,ABCD6,ACBDADBC5,则该三棱锥的外接球
的表面积为()
4343π4343π43π

2462
【答案】D
【解析】分别取,的中点,,连接相应的线段,,,
由条件,ABCD4,BCACADBD5,可知,△ABC与△ADB,都是等腰三角
形,
AB平面ECD,∴ABEF,同理CDEF,∴是与的公垂线,
球心在上,推导出△AGB≌△CGD,可以证明为中点,:.
DE2594,DF3,EF1697,
7743
∴GF,球半径DG9,∴外接球的表面积为S4πDG243π.
242
故选D.
二、填空题
.
【答案】84π
1616
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r23,
2sin6023
2
则外接球的半径2
R322391221,
则外接球的表面积为S4πR24π2184π.
,则该正四棱锥内切球的表面积为________.
【答案】
32163π
3
【解析】设正四棱锥的棱长为,则4a2163,解得a4.
4

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆,:.
其中MN4,PMPN23.∴PE22.
FOPOr22r
设内切圆的半径为,由△PFO△PEN,得,即,
ENPN223
22
解得r62,
31
∴内切球的表面积为2
S4πr24π6232163π.
ABC的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积
111
为,AB2,AC1,BAC60,则此球的表面积等于______.
【答案】
【解析】∵三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为,AB2,AC1,
111
1
BAC60,21sin60AA3,AA2,
211
BC2AB2AC22ABACcos60412,BC3,
:.
BC
设△ABC外接圆的半径为,则=2R,R1,
sin60
∴外接球的半径为112,∴球的表面积等于2
4π2.
BCD中,ABAC,DBDC,ABDB4,ABBD,则三棱锥ABCD
外接球的体积的最小值为_____.
82π
【答案】
3
【解析】如图所示,三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆,外接圆的直径为长方体
的体对角线,
设ABACx,那么DBDC4x,ABBD,所以ADAB2,体
积的最小值即为
最小,22
ADx4x,所以当x2时,的最小值为22,所以半径为,
82π
故体积的最小值为.
3
:.