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实数
【知识要点】
被开放数扩大(或缩小)n倍,算术平方根扩大(或缩小)n倍,例如255,250050.
一、算数平方根
算数平方根的定义:一般的,如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,(a≥0),那么这
个非负数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。求
一个正数a的平方根的运算叫做开平方。
注意:

,对应的算术平方根也越大(对所有正数都成立)。
,那么必定有两个,它们互为相反数。显然,如果我们知道了这两个平方
根的一个,那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
。
二、平方根
平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,求一个数
a的平方根的运算,叫做开平方。
平方根的性质:一个正数有2个平方根,它们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算数平方
根;0只有1个平方根,它是0;负数没有平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
三、立方根
立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根,
求一个数的立方根的运算叫做开立方,a的立方根记为3√a读作“三次根号a”,其中a是被开方数。
立方根的性质:每个数a都只有1个立方根。正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方
根是负数。
四、实数
:无限不循环小数叫做无理数。
:有理数和无理数统称实数。
:
1/13
:.
整数
有理数有限小数或无限循环小数
实数分数


无理数无限不循环小数
像有理数一样,无理数也有正负之分。例如2,33,是正无理数,2,33,是负无
理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:
正有理数
正实数
正无理数

实数0

负有理数
负实数

负无理数

:实数与数轴上的点是一一对应的。
:在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。
五、实数的运算:
、减、乘、除、乘方运算和有理数一样,而且有理数的运算律对无理数仍然适用。
,算术平方根的商等于这两个数商的
算术平方根,用式子表示为
六、题型规律总结:
1、a本身为非负数,有非负性,即a≥0;a有意义的条件是a≥0。
2、公式:⑴(a)2=a(a≥0);⑵3a=3a(a取任何数)。
3、区分(a)2=a(a≥0),与a2=a
:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
2/13
:.
实数考点分析应用
考点1平方根、立方根的定义与性质
,正确的是()
,

()
A.-2是(-2)-9的算术平方根
±±3
()
±±2
()
,即49(7)2的平方根,即(7)27
C.7是49的平方根,即497D.7是49的平方根,即497
()
A.-9的平方根是-±
()

C.-22的平方根是±
()

C.∵3的平方是9,∴9的平方根是3D.1是1的平方根
()
3
.(-1)6的立方根是-1

644125
()
11
±4B.是的立方根
26
27327
33643824
:①都是27的立方根,②3yy,③的立方根是2,④。其
中正确的有()
3/13
:.

:(1)3是9的平方根;(2)9的平方根是3;(3)3是9的平方根;(4)9的平方根是3,
其中正确的有()

()
A.-.±
()
A.±8B.±4C.±2D.±2
()
111
.-D.
844
()
=±=9C.366D.929
(9)81
()
.2
(6)26(3)29(16)2161616

2525

,n=(3)2,则m、n的关系是()
==-=±nD.|m|≠|n|
,3a,则a的值为()

,则比这个数大8数是()
+--+8
﹣2和a﹣4,则a的值是
+2和a-4,则a=___,x=____
3与5a,则a的值为____________.
a,则a______0
7有意义,则x的取值范围是
1有意义,则a能取的最小整数为
x_______x3
,有意义。
4/13
:.
1
,1x有意义。
x1
,式子x2有意义。
(a3)2=a-3,则a的取值范围是;
(a3)2=3-a,则a的取值范围是
x3x1中的x的取值范围是______,1xx1中的x的取值范围是______.
3y0,则x与y的关系是______.
44,那么(a-67)3的值是______.
134x1,则x=______.
<0,则m3m3______.

9
(1)81;(2)16;(3);(4)(4)2
25
7
。
9
(每小题4分,共8分)
(1)16x2-25=0(2)(x-1)3=8(3)2x-1)2-169=0;
(4)4(3x+1)2-1=0;(5)x3-27=0(6)2(x+3)3=512
5/13
:.
考点2实数的分类与性质
。
(1)实数不是有理数就是无理数。()(2)无限小数都是无理数。()
(3)无理数都是无限小数。()(4)根号的数都是无理数。()
(5)两个无理数之和一定是无理数。()(6)实数是由正实数和负实数组成。()
(7)0属于正实数。()(8)数轴上的点和实数是一一对应的。()
(9)如果一个数的立方等于它本身,那么这个数是0或1.()(10)若|x|2,则x2()
(11)所有的有理数都可以在数轴上表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数。()
()

()

,无法在数轴上表示准确
()


,那么这个数是()
A.±-±1
()
、零和负数统称为有理数

()


、b是实数,下列命题结论正确的是()
>b,则a2>>|b|,则a2>|a|>b,则a2>>b3,则a2>b2
,有理数为;无理数为。
520
39,,,2,,36,,5,38,........
23
6/13
:.
:其中有理数有________________________;无理数有_______________________。
110
-,7,,-π,,-34,0,,38,16,…
43
:
2
3962
-1、、π、-、、、、.
2
(1)有理数集合{};(2)无理数集合{};
(3)正实数集合{};(4)负实数集合{}.
()
~~~~10之间
17而小于11的所有整数为
-2,小于10的整数有______个。
,填>或<号:11911;3223.
:(1)3________32;(2)3125________36.
.
2x3的整数是.
.
3a6的所有整数a的和,N是满足不等式37
x
2
+N的平方根.
考点3实数的运算
2(22)得()
A.-2
,正确的是()
7/13
:.
+32=55B.(3+7)·10=10·10=10
C.(3+23)(3-23)=-3D.(2ab)(2ab)=2a+b
(x+1)2-1=0,则x的值等于()
A.±1B.±-2
4=____________
5.|-π|=______;|2332|______.
、n互为相反数,则m5n=_________
|x|5,则x=______;若|x|21;则x=______.
,|a-2|=a-2.
|a|=-a,那么实数a的取值范围是______.
|a|=3,b2,且ab>0,则a-b的值为______.
<a<c,化简|a-b|+|b-c|+|c-a|=______.
=25,b=3,则a+b=
23265
31000()
1(1)
3274
1351
12.()2(1)(1)
393
:
4
(1)325(2)8136(3)(4)
121
8/13
:.
1
(1)48-33(2)12×3+5(3)(212-75)(4)(35)(25)
3
91
:(1)117282(2)32716438
3
16125
1154
(3)452051(4)(122323
2535
222323
,b是它的小数部分,求(-a)3+(b+3)2的值.
,,需要多大面积的铁皮才能制成?
9/13
:.
y2xx225
0,求7(x+y)-20的立方根。
5x
=-2,x-y=52-1,求(x+1)(y-1)的值。
-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
考点4非负数
,y为实数,且x13(y2)20,则xy的值为().
.-.-1
2.(成都市)已知a2(b5)20,那么ab的值为.
,y满足x2+(y+1)2=0,则x-y等于
1y30,则x=________,y=________.
2|x23y13|0,求x+y的值.
10/13
:.
1(3xy1)20,求5xy2的值。
bc
、b、c满足a3(5b)2c10,求代数式的值。
a
考点5数形结合题
,在数轴上表示实数15的点可能是()

2.(江西省)在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是.
AB
35
、b在数轴上的位置如图所示:试化简:|a-b|-|a+b|
b0a
,b在数轴上的位置如图:化简:(ab)2+|c+a|
ab0C
a2abcabc2
、b、c位置如图所示,化简:
ab0c
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:.
考点6探究题
,根据你得到的规律回答:=3;=33;=333;…….请你
说出的值是.
2.(1)计算32____,2,2,1,,。
____(6)____()2____()2____02____
2
(2)根据(1)中的计算结果可知,a2一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语
言描述出来。
(3)利用上述规律计算:()2=。
:

115454
54
22
54545454

116565
65
22
65656565
请回答下列问题:
1
(1)、观察上面的解题过程,请直接写出式子:n2
nn1
11111
(2)、利用上面所提供的解法,请化简:
21324354109
分析:通过阅读解题过程不难发现,每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
1n1n
解:(1)。
nn1
(2)原式=21324354109=101。
说明:这类题目需要我们细心观察及思考,探究其中的规律,寻找解决问题的途径。
,然后回答问题。
在进行二次根式去处时,我们有时会碰上如5,2,2一样的式子,其实我们还可以将其进一步
3331
化简:
5333
==3;①
3335
2236
==;②
3333
22(3-1)(231)
===31③
31(31)(31)(3)212
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
12/13
:.
2
还可以用以下方法化简:
31
231(3)212(31)(31)
====31④
31313131
2
(1)请用不同的方法化简:
53
22
A:参照③式得=__________________;B:参照④式得=___________________。
5353
1111
(2)化简:...
3153752n12n1

2842222
22,即22;
555555
327933335
33即33;猜想:5等于什么,并通过计算验证
10101010101026
你的猜想。
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