数学模型课件第二章_初等模型.pdf

数学模型
第二章初等模型
公平的席位分配
录像机计数器的用途
双层玻璃窗的功效
汽车刹车距离
划艇比赛的成绩
实物交换
核军备竞赛
启帆远航
量纲分析与无量纲化
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* 数学模型
公平的席位分配
问三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表
会议共席,按比例分配,三个系分别为, , 席。
题 20 10 6 4
现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席,又如何分配。
系别学生比例 20席的分配 21席的分配
比对
人数(%) 比例结果比例结果
例丙
加甲 103 10 11 系
惯乙 63 6 7 公
平
例丙 34 4 3
吗
总和 200 20 21
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“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标
人数席位
当p1/n1= p2/n2 时,分配公平
A方 p1 n1
若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平
B方 p2 n2 那么,如
何衡量不
公平?
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p1=1050, n1=10, p1/n1=105
p2=100, n2=10, p2/n2=10 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对但后者对A的不公平
不公平度相同程度已大大降低!
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“公平”分配方法将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ,定义
p / n  p / n
1 1 2 2  r (n ,n ) ~ 对A的相对不公平度
p / n A 1 2
2 2 公平分配方案应
类似地定义
rB(n1,n2) 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平
华中科技大学管理学院即还没有分配增加的1席时
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应讨论以下几种情况初始 p1/n1> p2/n2
即A增加1席后,仍然对A不公平
1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A
即A增加1席后,变为对B不公平
2)若 p /(n +1)< p /n ,
1 1 2 2 应计算rB(n1+1, n2)
此式是肯定成立的,但要计算rA ,以便与rB作比较
3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算rA(n1, n2+1)
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
问: p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现?
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* 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义(根据式3、4)
p 2 p 2
2  1 该席给A
n 2 (n 2  1) n1 (n1  1) 否则, 该席给B
(该式也可由上述第1种情况推导出来,见P26中部)
2
pi
定义 Qi , i  1,2, 该席给Q值较大的一方
ni (ni  1)
2
推广到m方 pi
计算 Qi , i  1,,2, m
分配席位 ni (ni  1)
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
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用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系:p =103, n =10
1 1 用Q值方法分配
乙系:p = 63, n = 6
2 2 第20席和第21席
丙系:p3= 34, n3= 3
1032 632 342
第20席 Q1  , Q2  , Q3 
1011 67 34
Q1最大,第20席给甲系
2
103 Q 最大,第
第21席 Q1  , Q2