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微积分的产生——划时代的成就
解析几何是代数与几何相结合的产物,它将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,,也是科学技术发展史上最重大的事件之一.
1 微积分思想的萌芽
古希腊罗马——微分、积分思想的发源地
,该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus),代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成,以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想,表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x,进行了一次微分(dx)和二次微分(dx2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.
,欧多克斯(Eudoxus idos)曾提出了一个计算方法,这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是:如果对于任意的正整数n,等式(常数)成立,且当n→时,,,(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献,他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中,应用了穷竭法,并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.
(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人,他虽然不是一个科学家,更谈不上是一位数学家,但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场,客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来,“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题,比如,收敛的无穷级数,虽有无穷多项,但其和仍为有限的;“飞箭”则是一个典型的导数问题,运动的物体在每一时刻不仅有速度,而且还有加速度等;“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.
阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究
在整个中世纪,希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、,在黑暗时代的几个世纪中,有效地利用这些遗产,并且最后把它们输送到西欧去的,却是地中海地区的阿拉伯政权.
,阿拉伯帝国逐渐崛起,到8世纪,它已成为一个地跨亚、欧、非三洲,阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆,政府组织人力进行天文观测,编制星表,,
“阿拉伯数学”“阿拉伯人”的工作才得以保存下来,,阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁,今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等,都是通过阿拉伯从东方传到西方去的,,阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时,.
,除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及,代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外,,把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形,“世界不是无限的,但毕竟不能认为它是有限的,因为世界没有一条把它包围起来的界限”,《算术》中,已有变量、极大和极小概念的原始形式,“流数”、“流量”等概念,,要解决所有关于无限的诡辩,只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了,这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.
古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
,对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算,和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算,,根据我载,约在300年以前的殷代,