用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案).doc

数列的通项公式的求法
观察法(即猜想法,不完全归纳法)
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系
例1:根据数列的前4,写出它的一个通项公式:9,99,999,9999,......
公式法
若已知数列的前n项和与项数n的关系,求数列的通项公式可用公式法求解。
例2:的前n项和,求的通项公式。
由递推公式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。
迭加法
已知递推关系
例3 已知数列满足,求数列的通项公式。
变式:已知数列满足,求数列的通项公式。
迭乘法
已知递推关系是
例4:已知数列中,,求的通项公式。
变式:已知数列满足,求数列的通项公式。
3、待定系数法
例5 已知数列满足,求数列的通项公式。
变式: 已知数列满足,求数列的通项公式。
4、数学归纳法
例6 已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
数列求和
(一)主要知识:
:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:
(2)等比数列的求和公式(切记:公比含字母时一定要讨论)
:
:比如
:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:
;
;
;
。
:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
:如求的和。
:
:如归纳猜想法,奇偶法等
(二)主要方法:
:关键是看数列的通项公式;
;
;
(三)例题分析:
:①
②
③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n项和
思路分析:通过分组,直接用公式求和。
解:①
②
(1)当时,
(2)当
③
总结:运用等比数列前n项和公式时,要注意公比讨论。

,求前n项和。
思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。
解:
当
当


解:
练习:求答案:

例4求证:
思路分析:由可用倒序相加法求和。
证:令
则
等式成立

还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。
。
思路分析:,通过分组,对n分奇偶讨论求和。
解:,若
若
练习:已知成等差数列,n为正偶数,
又,试比较与3的大小。
解:
可求得,∵n为正偶数,
(四)、小结:
;
。
同步练习:
数列的通项公式与求和
练习1
练习2
练习3
练习4
练习5

练习6
练习7

练习8 等比数列的前项和Sn=2n-1,则
练习9 求和:5,55,555,5555,…,,…;
练习10 求和:
练习11 求和:
练习12 设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.