【高中数学课件】不等式的证明ppt课件.ppt

不等式的证明
——分析法证明不等式
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重要不等式:
比较法之一(作差法)步骤:
作差——变形——判断与0的关系——结论
学过的证明方法:
比较法之二(作商法)步骤:
作商——变形——判断与1的关系——结论
综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法.
用综合法证明命题“若A则B”的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
因为21<25成立,所以
一、分析法:
从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法叫做分析法。
思维过程:结论条件
二、用分析法证明“若A则B”这个命题的格式是:
要证命题B为真,
只需证命题B1为真,
只需证命题B2为真,
……
只需证命题Bn为真,
只需证命题A为真,
而已知命题A为真,
故命题B为真。
用简要的形式写为:
B B1 B2 …… Bn A
结论(寻求不等式成立的充分条件) 条件
而4<6这显然成立
例3:|a|<1,|b|<1,求证:| |<1
证明:
只需证|a+b|<|1+ab|
只需证|a+b|2<|1+ab|2
展开得 a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2
只需证 a2+b2<1+a2b2
只需证 a2+b2-1-a2b2 <0
即证(a2-1)(1-b2)<0
∵|a|<1,|b|<1
∴a2-1<0,1-b2>0
要证| |<1
∴| |< 1
(a2-1)(1-b2)<0
说明:对于较复杂的不等式,用综合法证明往往不易入手。通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明。分析法和综合法常是结合在一起使用的.
小结:
1、用分析法证明不等式的关键在于寻找不等式成立的充分条件。
对所需证的不等式进行化简,常用方法有:平方、合并、有理化、去分母等。所做变形应可逆推;否则,不可使用。
2、带有根式、分式和条件简单而结论复杂的不等式证明,常用分析法。
3、用分析法证明的过程中“要证”、“只需要证”、“即要证”等词语不可缺少,否则是错误的。
4、分析法——执果索因:利于思考,思路自然,易于掌握;
综合法——由因导果:宜于表述,条理清楚,形式简洁。
5、对于较复杂的不等式,直接用综合法证明往往不易入手。常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明。分析法和综合法常是结合在一起使用的.