NOIP基础算法——贪心和分治pascal.ppt

NOIP基础算法——分治与贪心
巴蜀中学黄新军
第五部分分治策略
一、分治思想
分治(divide-and-conquer)就是“分而治之”的意思,其实质就是将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题;然后递归地解这些子问题,最后合并其结果就得到原问题的解。
二、分治法的适用条件
能使用分治法解决的问题,它们一般具备以下几个特征:
①该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题;
②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解;
③子问题的解合并后,能得到原问题的解;
分治法在信息学竞赛中应用非常广泛,使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构,如快排、最优二叉树、线段树等;还可以直接使用分治策略,解决一些规模很大、无法直接下手的问题。
三、分治的三步骤
①分解:将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题;
②解决:当子问题划分得足够小时,求解出子问题的解。
③合并:将子问题的解逐层合并成原问题的解。
分治算法设计过程图
由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果得到的子问题相对来说还太大,则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题,直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程来表示。
要使分治算法效率高,关键在于如何分割?一般地,出于一种平衡原则,总是把大问题分成K个规模尽可能相等的子问题,但也有例外,如求表的最大最小元问题的算法,当n=6时,等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最佳分割。一般来讲,都是2分为主。
四、分治的框架结构
procedure DIVIDE()
begin
if(问题不可分)then//解决
begin
直接求解;
返回问题的解;
end
else begin
对原问题进行分治;//分解
递归对每一个分治的部分求解;
归并整个问题,得出全问题的解;//合并
end
end;
五、分治的典型应用
1、求最大值和最小值
2、非线性方程求根
3、二分查找
4、归并排序
5、快速幂
6、求解线性递推关系
7、棋盘覆盖问题
8、循环日程表问题
9、寻找最近点对
1、求最大值和最小值
例题1:给n个实数,求它们之中最大值和最小值,要求比较次数尽量小。
分析:假设数据个数为n,存放在数组a[1..n]中。可以直接进行比较:
minn:=a[1];maxx:=a[1];
for i:=2 to n do
if a[i]>maxx then maxx:=a[i];
else if a[i]<minn then minn:=a[i];
使用这一算法,比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。