NOIP基础算法——贪心和分治pascal.ppt

NOIP基础算法——分治与贪心
巴蜀中学 黄新军
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第五部分 分治策略
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一、分治思想
分治(divide-and-conquer)就是“分而治之”的意思，其实质就是将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；然后递归地解这些子问题，最后合并其结果就得到原问题的解。
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二、分治法的适用条件
能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征：
①该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题；
②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解；
③子问题的解合并后，能得到原问题的解；
分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、无法直接下手的问题。
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三、分治的三步骤
①分解：将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题；
②解决：当子问题划分得足够小时，求解出子问题的解。
③合并：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
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分治算法设计过程图
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由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程来表示。
要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法，当n＝6时，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最佳分割。一般来讲，都是2分为主。
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四、分治的框架结构
procedure DIVIDE()
begin
if(问题不可分)then//解决
begin
直接求解；
返回问题的解；
end
else begin
对原问题进行分治；//分解
递归对每一个分治的部分求解;
归并整个问题，得出全问题的解;//合并
end
end;
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五、分治的典型应用
1、求最大值和最小值
2、非线性方程求根
3、二分查找
4、归并排序
5、快速幂
6、求解线性递推关系
7、棋盘覆盖问题
8、循环日程表问题
9、寻找最近点对
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1、求最大值和最小值
例题1：给n个实数，求它们之中最大值和最小值，要求比较次数尽量小。
分析：假设数据个数为n,存放在数组a[1..n]中。可以直接进行比较：
minn:=a[1];maxx:=a[1];
for i:=2 to n do
if a[i]>maxx then maxx:=a[i];
else if a[i]<minn then minn:=a[i];
使用这一算法，比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。
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