圆锥曲线的又一个性质.doc

圆锥曲线的又一个性质
贵州省遵义市第一中学贺聿洪
邮编 563001
文[1]给出,过圆锥曲线上定点作两弦、,当、的斜率乘积
为定值时,必过定点。
本文阐明的是,过圆锥曲线上定点作与对称轴成等角的两弦、,则
的斜率是定值,且正好等于过这个定点的切线的斜率的相反数。
定理1 过椭圆上定点作与对称轴成等角的两弦,则,也正是过点切线斜率的相反数。
定理2 过双曲线上定点作与对称轴成等角的两弦,则,且也正是过点切线斜率的相反数。
定理3 过抛物线上定点作与对称轴成等角的两弦,则,也正是过点切线斜率的相反数。
前两个定理证明方法类似,这里只给出定理2、3的证明。
定理2证明:
设双曲线上定点的,,直线倾斜角为,则直线的方程为:
,
代入双曲线方程整理得:
,
就是

设则
∴
又∵直线的倾斜角为,则直线的方程为:
代入双曲线,设,同上可得
故
==
==
而双曲线上过点的切线
的斜率为,正好是的相反数。证毕
定理3证明:
设抛物线上定点的,直线倾斜角为
,则直线的方程为
,
代入抛物线方程,整理:
设,则
∴
又∵直线的倾斜角为,则的方程为
,
代入抛物线方程,并设,同上可得
故
=
=
==
而过抛物线上点的切线
的斜率为
,
正好是的相反数。证毕
例点、在抛物线上,是抛物线的顶点,已知,且,求证:∠的角平分线垂直于轴。
若抛物线上两点、,使∠的角平分线垂直于轴,是否存在实数,使,请给出证明。
证明:设、
∵
∴,即…(1)
又∵
∴…(2)
将(1)代入(2)得:

∴
∴或
∴∠的角平分线与轴平行,即垂直于轴。
当时,
∵∠的角平分线垂直于轴
∴∠的两边、与对称轴轴成等角。
由定理3可知,,且过点的切线的斜率为,
∴存在实数,使
事实上,当时,
∵所在直线是,代入,得
∴
设:,则:,代入得:
、
∴
∴、共线,即总存在实数,使。
(当时的讨论,仿上,略)
参考文献:
1、杨日武,一类直线过定点问题的探讨,数学通报。2003,04:28