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正弦定理和余弦定理
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、余定理变形技巧实现三角形边角转换,解题过程中做到正余弦定理的优化选择.
基础梳理
:===2R,:
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
(3)sin A=,sin B=,sin C=等形式,以解决不同的三角形问题.
:a2=b2+c2-os_A,b2=a2+c2-os_B,c2=a2+b2-2abcos_C.
余弦定理可以变形为:cos A=,cos B=,cos C=.
△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
,解三角形时,,b,A,则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
a<bsin A
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
一条规律
在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
两类问题
在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角.
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
双基自测
△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于_____
△ABC中,若=,则B的值为______
△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于______
△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为________
△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,则此三角形的最大内角为________.
考向一利用正弦定理解三角形
【例1】►
1. 在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.
2. 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,
1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高.
3. 若,则的最大值▲
4. 已知的面积为,角的对边分别为,.
⑴求的值;
⑵若成等差数列,求的值.
【训练1】
1. 在△ABC中,若b=5,∠B=,tan A=2,则sin A=________;a=________.
2. 在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
3. 如图,在中,,角的平分线交于点,设,.
(1)求和;(2)若,求的长.
考向二利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.
(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
【训练2】
,B,C为△ABC的三个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos2 +cos A=0.
(1)求角A的值;
(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.
考向三利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►
1. 在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC的形状.
判断三角形的形状的基本思想是;利用正、,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.
【训练3】
1. 在△ABC中,若==;则△ABC是____三角形
考向四正、余弦定理的综合应用
【例4】►
1. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sin C+si