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第一节导数概念
第二章
三、导数的几何意义
二、导数的定义
一、引例
四、函数的可导性与连续性的关系
五、小结与思考题
(The Concept of Derivative)
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一、引例(Introduction)
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则到的平均速度为
而在时刻的瞬时速度为
自由落体运动
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曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
2. 曲线的切线斜率
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
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瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.
类似问题还有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
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二、导数的定义(Definition of Derivatives)
1. 函数在一点的导数与导函数
定义1 设函数
在点
存在,
并称此极限为
记作
则称函数
若
的某邻域内有定义,
在点
处可导,
在点
的导数.
即
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若上述极限不存在,
在点不可导.
若
也称
在
若函数在开区间 I 内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作:
注:
就说函数
就称函数在 I 内可导.
的导数为无穷大.
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由此可见,
运动质点的位置函数
在时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
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(C 为常数) 的导数.
解:
即
例2 求函数
解:
例1 求函数
2. 求导数举例
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对一般幂函数
( 为常数)
例如,
说明:
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类似可证得:
例3
解:
即
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