大学高等数学经典10-6 PPT课件.ppt

第六节高斯公式通量与散度
高斯公式
: 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭
曲面Σ所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
:
此时,Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα,cosβ
,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,以
: 高斯公式表达了空间
区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之
:现在我们只要证第一式即可,因为
一,二式右端相等,把第一式分为三式:
现在证(3)
x
y
z
Σ1:z=z1(x,y)
Σ3
Ω
Dxy
Σ2:z=z2(x,y)
条件:
(1)设闭区域Ω在xoy平面上的投影区域为Dxy:
(2)设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的
边界曲面Σ的交点恰好是两个;
(3)Σ=Σ1+ Σ2+ Σ3Σ1方程 z=z1(x,y)
Σ2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)≤z2(x,y)
(4) Σ1取下侧, Σ2取上侧面, Σ3是以Dxy
的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面
上的一部分,取外侧面.
则(3)式左边:
(3)式右边:
(简写)
x
y
z
Σ1:z=z1(x,y)
Σ3
Ω
Dxy
Σ2:z=z2(x,y)
以上三式相加,有
故(3)式成立,有
对于(1)与(2)式,同样可得:
如果穿过Ω内部,且平行于x轴的直线与Ω的边界曲面
:
如果穿过Ω内部,且平行于y轴的直线与Ω的边界曲面Σ
:
成立
成立
(1),(2),(3)式两端分别相加,即:
即高斯公式
2. 对Ω不作限制时高斯公式仍然成立:
即穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Ω的边界
曲面交点多于两个,可引辅助面把Ω分成有限个闭区域,
使得每个闭区域满足条件
并可见沿辅助面相反两侧面的两个曲面积分
的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消,
因而高斯公式仍然成立.
例1 利用高斯公式计算曲面积分:
x
y
z
o
其中Σ为柱面x2+y2=1及平面
z=0,z=3所围成的空间闭区域
Ω的整个边界曲面的外侧面.
解:因为由已知:P=(y-z)x, Q=0,
R=x-y
柱面坐
标计算