数形结合的数学思想包含以形助数和以数辅形.doc

数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”
数形结合思想解决的问题常有以下几种:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7)构建方程模型,求根的个数.
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点
例1 (2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )

1、设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )

类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围
例2 (1)(2012·福建)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是________.
(2)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是________.
训练:(1)使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5,6)
C.(10,12) D.(20,24)
类型三利用数形结合思想求最值
例3 若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )
A.-1
C.
训练:若