公平的席位分配问题.ppt

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数学实验与数学建模
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公平的席位分配
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103
乙 63
丙 34
总和 200 20
21席的分配
比例结果



21
问题
三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。
现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席,又如何分配。
比例加惯例
对丙系公平吗
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103
乙 63
丙 34
总和 200 20
系别学生比例 20席的分配
人数(%) 比例结果
甲 103 10
乙 63 6
丙 34 4
总和 200 20
21席的分配
比例结果
11
7
3
21
舍升阔权群蘸湃亏极糊鲸融权饰潘叙朴汞上披镭熬沛毖挫作凋罢菠靠莲暖公平的席位分配问题公平的席位分配问题
“公平”分配方法
衡量公平分配的数量指标
人数席位
A方 p1 n1
B方 p2 n2
当p1/n1= p2/n2 时,分配公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1=1050, n1=10, p1/n1=105
p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平程度已大大降低!
虽二者的绝对不公平度相同
若 p1/n1> p2/n2 ,对不公平
A
p1/n1– p2/n2=5
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公平分配方案应使 rA , rB 尽量小
设A, B已分别有n1, n2 席,若增加1席,问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平
~ 对A的相对不公平度
将绝对度量改为相对度量
类似地定义 rB(n1,n2)
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
“公平”分配方法
若 p1/n1> p2/n2 ,定义
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1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 ,
则这席应给 A
2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 ,
此时, 有 p1/n1> p2/(n2+1),
应计算rB(n1+1, n2)
应计算rA(n1, n2+1)
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
问:
p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现?
A
否!
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
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当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
该席给A
否则, 该席给B
定义
该席给Q值较大的一方
推广到m方分配席位
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
计算
,
美学角度,可以鉴赏
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几何平均数的平方
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三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系:p1=103, n1=10
乙系:p2= 63, n2= 6
丙系:p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配第20席和第21席
第20席
第21席
同上
Q3最大,第21席给丙系
甲系11席,乙系6席,丙系4席
Q值方法分配结果
公平吗?
Q1最大,第20席给甲系
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