12动载荷.doc

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本章讨论动载荷下应力、应变的计算,只要应力不超过比例极限,胡克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算,弹性模量也与静载下的数值相同。
本章讨论下述3类问题:
(1) 构件有加速度时的应力计算;
(2) 冲击;
(3) 振动。
至于载荷按周期变化的情况,将于第13章中讨论。
动静法的应用
达朗伯原理指出,对作加速运动的质点系,如假想地在每一质点上加上惯性力,则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。这样,就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法。于是,以前关于应力和变形的计算方法,也可直接用于增加了惯性力的杆件。

以匀加速度向上提升的杆件

(a)匀加速度上升的梁;(b)分布力剪图
例如,图表示以匀加速度向上提升的杆件。若杆横截面面积为,单位体积的重量为,则杆件每单位长度的重量为,相应的惯性力为,且方向向下。将惯性力加于杆件上,于是作用于杆件的重力、惯性力和吊升力组成平衡力系()。杆件成为在横向力作用下的弯曲问题。均布载荷的集度是
杆件中央横截面上的弯矩为
相应的应力(一般称为动应力)为
(a)
当加速度等于零时,由上式求得杆件在静载下的应力为
故动应力可以表为
(b)
括号中的因子可称为动荷系数,并记为
(c)
于是(b)式写成
(d)
这表明动应力等于静应力乘以动荷系数。强度条件可以写成
(e)
由于在动荷系数中已经包含了动载荷的影响,所以即为静载许用应力。
匀速旋转的圆盘
还可用匀速旋转圆环为例说明动静法的应用。设圆环以匀角速度,绕通过圆心且垂直于纸面的轴旋转()。若圆环的厚度远小直径,便可近似地认为环内各点的向心加速度大小相等,且都等于。以表圆环横截面面积,表单位体积的重量。于是沿轴线均匀分布的惯性力集度为,方向则背离圆心,。这就与计算薄圆筒周向应力的计算简图完全相似(参看节)。由半个圆环()的平衡方程,得

由此求得圆环横截面上的应力为
(f)
式中是圆环轴线上的点的线速度。强度条件是
(g)
从以上两式看出,环内应力与横截面面积无关。要保证强度,应限制圆环的转速。增加横截面面积无济于事。
【】在轴的端有一个质量很大的飞轮(图)。与飞轮相比,轴的质量可以忽略不计。轴的另一端装有刹车离合器。飞轮的转速为,转动惯量为。轴的直径。刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。求轴内最大动应力。
突然刹车飞轮的动应力
刹车离合器
【解】
飞轮与轴的转动角速度为
当飞轮与轴同时作均匀减速时,其角加速度为

等号右边的负号只是表示与的方向相反(如图所示)。按动静法,在飞轮上加上方向与相反的惯性力偶矩,且
设作用于轴上的摩擦力矩为,由平衡方程,求出
轴由于摩擦力矩和惯性力偶矩引起扭转变形,横截面上的扭矩为
横截面上的最大扭转剪应力为
。
【】汽轮机叶片在工作时通常要发生拉伸、扭转和弯曲的组合变形,确定其应力和变形是一个相当复杂的问题。这里,只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形。为简单起见,设叶片可近似地简化为变截面直杆(),且横截面面积沿轴线按线性规律变化。叶根的横截面面积为叶顶的横截面面积的两倍,即。令叶根和叶顶的半径分别为和,转速为,材料单位体积的重量为。试求叶片根部的应力和总伸长。
【解】
设距叶根为的横截面的面积为,由于横截面面积沿轴线按线性规律变化,容易求出
在距叶根为处取长为的微段,其质量应为
气轮机叶片
距叶根为的点处向心加速度为

因而,的惯性力应为
截面以上部分杆件的惯性力是

若截面上的轴力为,由平衡方程,显然有
最大轴力发生在叶根横截面上,在上式中令,得
在叶根横截面上的拉应力为
式中为叶顶的线速度,且。
若在距叶根为处取出长为一段,根据Hook定律,其伸长应为
积分求出叶片的总伸长为

* 强迫振动的应力计算
简化成一个自由度的振动系统。其差别是各种情况的弹簧常数不同。例如,,静位移为
弹簧
故弹簧常数为

又如拉杆在静载荷的作用下


根据以上讨论,。选定坐标向下为正。作用于振动物体上的力有:重力、弹簧的恢复力、惯性力、干扰力和阻尼力。通常假设与速度成正比,
为比例常数。这样,得振动物体的运动方程为
化简上式,并注意到,得
(a)
由于系统的固有频率(圆频率)为
()
若再引用记号
(b)
称为阻尼系数,则(a)