微分方程的Matlab求解.ppt

Matlab中求微分方程(组)的解析解命令为:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时,用字母D表示求微分,D2、,自变量可以指定或由系统规则选定为缺省.
例如,微分方程
应表达为:D2y=0.
微分方程的解析解
解: 输入命令:
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结果为: y =3e-2xsin(5x)
结果:u = tan(t-c)
解输入命令:
s=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't');
% 查看结果


x=simple() %简化结果
y=simple()
z=simple()
结果为:
x =-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t)
y =(-C1*exp(-4*t)+C1+C2*exp(-4*t)+C2*exp(-3*t)-C2+C3-C3*exp(-3*t))*exp(2*t)
z = (-C1+exp(4*t)*C1-2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t)
用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)
ode45 ode23 ode113ode15sode23s
由待解方程写成的m-文件名
ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值
函数的初值
ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法
ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
自变量值
函数值
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),
命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),
rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差.
1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须变换成等价的一阶微分方程组.
注意:
解: 令 y1=x,y2=y1’
1、建立m-文件如下:
function dy=vdp1000(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
2、取t0=0,tf=3000,输入命令:
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),'-')
3、结果如图
解 1、建立m-文件如下:
function dy=rigid(t,y)
dy=zeros(3,1);
dy(1)=y(2)*y(3);
dy(2)=-y(1)*y(3);
dy(3)=-*y(1)*y(2);
2、取t0=0,tf=12,输入命令:
[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线.
慢跑者与狗
一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,=20,w=5时狗的运动轨迹.
1. 模型建立
设时刻t慢跑者的坐标为(X(t),Y(t)),狗的坐标为(x(t),y(t)).
则X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似,建立狗的运动轨迹的参数方程:
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2. 模型求解
(1) w=20时,建立m-文件如下:
function dy=eq3(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt
((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt
((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
取t0=0,tf=10,建立程序如下: