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第二节
一、第二型曲线积分的概念与性质
二、第二型曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
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第二型曲线积分
第十章
一、第二型曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
求移
“大化小”
“常代变”
“近似和”
“取极限”
变力沿直线所作的功
解决办法:
动过程中变力所作的功W.
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1) “大化小”.
2) “常代变”
把L分成 n 个小弧段,
有向小弧段
近似代替,
则有
所做的功为
F 沿
则
用有向线段
上任取一点
在
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3) “近似和”
4) “取极限”
(其中为 n 个小弧段的
最大长度)
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2. 定义.
设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,
在有向曲线弧 L 上
第二型曲线积分,
则称此极限为函数
或第二类曲线积分.
其中,
L 称为积分弧段或积分曲线.
称为被积函数,
在L 上定义了一个向量函数
极限
记作
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若为空间曲线弧, 记
称为对 x 的曲线积分;
称为对 y 的曲线积分.
若记
, 对坐标的曲线积分也可写作
类似地,
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L- 表示 L 的反向弧, 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
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二、第二型曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
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对应参数
设分点
根据定义
由于
对应参数
因为L 为光滑弧,
同理可证
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特别是, 如果 L 的方程为
则
对空间光滑曲线弧:
类似有
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