高数第七章 微分方程.ppt

微分方程
第七章
—积分问题
—微分方程问题
推广
第七章
微分方程的基本概念
第一节
第七章
常微分方程
偏微分方程
(本章内容)
微分方程的基本概念
分类
含未知函数及其导数的方程叫做
微分方程.
微分方程的阶.
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做
一般地, n 阶常微分方程的形式是
—使方程成为恒等式的函数.
通解
—解中所含独立的任意常数的个数与方程
—确定通解中任意常数的条件.
的阶数相同.
特解
微分方程的解
—不含任意常数的解,
定解条件
其图形称为
积分曲线.
n 阶方程的
初始条件(或初值条件):
引例1
可分离变量微分方程
第二节
可分离变量方程的类型:
转化
分离变量
分离变量
第七章
可分离变量方程的解法:
两边积分, 得
①
②
则有
说明:
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),
说明由
分离变量得
②确定的隐函数是①的解;
当G(y)与F(x) 可微且时,
也是①的解.
同样, 当
时,由②确定的隐函数
称②为方程①的, 或.
隐式通解
通积分
减解.
在求解过程中每一步不一定是同解变形,
求微分方程
的通解.
解
两边积分
得
即
( C 为任意常数)
或
说明:
因此可能增、
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例1
分离变量得
例2
解
两边积分得
即
由初始条件得 C = 1,
( C 为任意常数)
故所求特解为
解初值问题
分离变量得
思考与练习
求下列方程的通解:
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
齐次方程
第三节
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
形如
的方程叫做
齐次方程.
第七章
例3
解
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数)
此处
解微分方程