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鲲鹏教育初一数学基础知识讲义
主讲:关军
第一讲和绝对值有关的问题
知识结构框图:
数
绝对值的意义:
(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;
③零的绝对值是零。
也可以写成:
说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;
(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
典型例题
例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:
则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A )
A.-3a B. 2c-a -2b D. b
解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。
:,,且, 那么
的值( C )

解:由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:
所以
分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解:设甲数为x,乙数为y
由题意得:,
(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:
若x在原点左侧,y在原点右侧,即 x<0,y>0,则 4y=8 ,所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧,y在原点左侧,即 x>0,y<0,则-4y=8 ,所以y=-2,x=6
(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:
若x、y在原点左侧,即 x<0,y<0,则-2y=8 ,所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧,即 x>0,y>0,则 2y=8 ,所以y=4,x=12
例4.(整体的思想)方程的解的个数是( D )

分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。
例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2
于是

在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,,
如果题目变成求值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与,3与5,与,与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____相等.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为.
分析:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么,如何求出A与B两点间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时,距离为-x-1, 当-1<x<0时,距离为x+1, 当x>0,距离为x+1
综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为
(3)结合数轴求得的最小值为 5 ,取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.
分析:即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图,x在数轴上的位置有三种可能:
图1 图2 图3
图2符合题意
(4) 满足的的取值范围为 x<-4或x>-1
分析: 同理表示数轴上x与-1之间的距离,表示数轴上x与-4之间的距离。本