2004年全国高中数学联合竞赛试题.doc

2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)
第一试时间:10月16日
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、设锐角使关于x的方程有重根,则的弧度数为( )
A. B. C. D.
2、已知。若对所有,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4、设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为( )
A. 2 B. C. 3 D.
5、设三位数,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )
A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆的圆心,,垂足为B,,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、在平面直角坐标系xoy中,函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数,且对任意
,则=_____________________。
9、如图、正方体中,
二面角的度数是____________。
10、设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k=____________。
11、已知数列满足关系式,则的值是_________________________。
12、在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移动,当取最大值时,点P的横坐标为___________________。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于,则算过关。问:
(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?
(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?
(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。)
14、在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。
15、已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:对于,若。
二○○四年全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准
说明:
1、评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、解:因方程有重根,故
得
,于是。故选B。
2、解:相当于点(0,b)在椭圆上或它的内部。故选A。
3、解:原不等式等价于
设 解得。
即。故选C。
4、解:如图,设D,E分别是AC