极点、极线,配极原则.ppt

时间:10月12日
授课老师:刘小辉
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、极线,配极原则
教案再现:liuxh92@
数学科学对于经济竞争是必不可少的,数学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。
——引自:
§ 极点、极线,配极原则
一、引入
在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定:非退化.
设
定义1 两点P, Q关于Γ共轭. (如图)
定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.
证明设P(pi), Q(qi). 则PQ与Γ: S=0的交点M(pi+λqi)满足
设其两根为λ1, λ2. 则交点为Mj( pi+λjqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1 λ1/λ2=–1λ1+λ2=0
将qi改为流动坐标xi, 得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0.
§ 极点、极线,配极原则
二、极点与极线
定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.
推论1 两点P, Q关于Γ共轭Spq=0. 即
注2. P在Γ上, 则Spp=0, 由推论1, Γ上的点关于Γ自共轭.
注1. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证上式.
2. 极点与极线
定义2 对于点P, 若
则称P关于Γ的
共轭点轨迹p
切线p
为P关于Γ的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于Γ的极点.
注. 由定义2及推论1, 有
定义2': 相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点.
1. 问题提出
§ 极点、极线,配极原则
一、极点与极线
推论2 平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于Γ的极点存在唯一.
证明只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, (pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 由此可以推知
因为|aij|≠0, 故()对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在.
(*)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.
3. 主要结论
§ 极点、极线,配极原则
二、极点与极线
4. 极点与极线的计算
(1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0.
(2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(*), 解出(pi). (注:在实际计算时, 可取ρ=1, 见教材)
注:(*)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.
定义3 相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线.
注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于Γ: S=0共轭Tpq=0
根据推论2, 可以对偶地给出下列定义
§ 极点、极线,配极原则
二、极点与极线
对于
点P(pi)关于Γ的极线(P关于Γ的共轭点的轨迹)方程:Sp=0.
点P(pi), Q(qi)关于Γ共轭
直线u[ui]关于Γ的极点:下列极点方程组的解
例1
求点(1,-1,0)关于二阶曲线
的极线?
例2
求直线关于
的极点.
(3,-1,-1)
§ 极点、极线,配极原则
三、配极变换
1. 配极变换
定义4 称由
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ: S=0的配极变换.
注1. 任一非退化二阶曲线Γ都决定了平面上的一个配极变换.
注2. 配极变换是异素变换, 是一个双射.
注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.
定理2 (配极原则)点P关于Γ的极线p通过点Q点Q关于Γ的极线q通过点P.
定理2'(配极原则) 直线p关于Γ的极点P在直线q上直线q关于Γ的极点Q在直线p上.