数列的子列.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse§:设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数列,称为数列的一个子列,简记为。在数列中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列,记为,其中表示在原数列中的项数,:数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为非平凡子列。性质:一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散;且在收敛时有相同的极限。对数列的子列,有如下结果:(1)对每一个,有.(2)对任意两个正整数,如果,,若,则.(3),有.(4):,则任给,找得到正整数N,当时,,当2n>2N时也有,,则对任给,找得到正整数N,当n>N时,有①同时可找到正整数M,当n>M时,有②从而取N0=max{2N,2M+1},当n>N0时,n为偶数,则满足①;n为奇数,则满足②,即当n>N时,有,亦即.(5)若,和都收敛,且有相同的极限,则收敛。或者说:数列收敛的充要条件是,:设,则由数列极限的定义,知,,,;同样也有,,;,,。取,当时,对任意的自然数n,若,则必有,从而;同样若,则必有,从而也有;若,则必有,从而。所以,即收敛。(6)数列收敛的充要条件::.,,故当时更有,从而也有,,又是的子列,,(4)。例1:证明以下数列发散(1);(2)证明:设,则,而,因此发散。(2)证明:的偶数项组成的数列,发散,所以发散。例2:判断以下结论是否成立:若和都收敛,则收敛。解:结论不一定成立。例如,设,则,都收敛,但发散。注:若和都收敛,且极限相等(即),则收敛。例4:若单调数列含有一个收敛子列,则收敛。证明:不妨设是单调增加数列,是其收敛子列。于是有界,即存在,使得。(这里用了结论:数列收敛,则必有界)。对单调增加数列中的任一项必有,即单调增加有上界,从而收敛。(这里用了结论:单调有界数列必收敛)。例5(致密性定理):任何有界数列必有收敛的子数列。证明:设是一个有界数列,且设即是一个单调下降的数列,又有界,则存在正数M,,从而。则是单调有界数列。由单调有界收敛原理知,收敛。仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;ürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZ