时域离散相似法.doc

第三章时域离散相似法用数字计算机对一个连续系统进行仿真时,必须将这个系统看作一个时间离散系统。也就是说,我们只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值,它们是一些时间离散点的数值。在第二章中主要是从数值积分法的角度来讨论数字仿真问题,没有显式地涉及到“离散”这个概念。史密斯从控制和工程的概念出发提出离散相似问题[1],并导出离散相似法。所谓“离散相似法”就是将一个连续系统进行离散化处理,然后求得与它等价的离散模型。由于连续系统的模型可以用传递函数来表示,也可以用状态空间模型来表示,因此,与连续系统等价的离散模型可以通过两个途径获得,其一是对传递函数作离散化处理得离散传递函数(或脉冲传递函数),称为频域离散相似模型。其二是基于状态方程离散化,得到时域离散相似模型。本章介绍时域离散相似法,第四章介绍频域离散相似法。,它由以下状态方程描述:u()对于()式描述的连续系统进行离散化处理,。,输出端加一个虚拟采样开关。虚拟采样周期为T且同步。其中,u(t)是系统输入;u(k)是加虚拟采样开关后,在kT时刻系统输入;x(k)是加虚拟采样开关后在kT时刻系统输出;、是等价的连续信号。只要能足够精确地表示u(t),那么也就能足够精确地表示,这样,就能获得与连续系统等价的时域离散相似模型。:x[(k+1)T)]=x(kT)+u(kT)+m(T)()其中:T是采样时间间隔(或称采样周期);u(k)、x(k)为系统kT时刻的输入及状态量;为离散化后与系统模型有关的系数。下面将讨论怎样从()式经离散化处理获得()式所示的时域离散相似模型。将方程两边取拉氏变换,经整理得到:x(s)=(sI-A)-1x(0)+(SI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)()设F(t)=L-1[(sI-A)-1]()则F(t)=eAt称作状态转移矩阵。将()式代入(),可得到:x(s)=L[F(t)]x(0)+L[F(t)]Bu(s)()由卷积公式:称作f和g的卷积,可以写作f*g,其中,Lf(t)=F(s),Lg(t)=G(s).()式取反拉氏变换,运用卷积公式得到:()对离散化处理后的系统,设kT及(k+1)T为两个依次相连的采样瞬时,则有:x(kT)=eAkTx(0)+()x[(k+1)T)]=eA(k+1)Tx(0)+()将()式-()式*eAT,可得:x[(k+1)T)]=eATx(kT)+()由于()式右端的积分与k无关,故可令k=0,若信号重构器使kT与(k+1)T之间的不变,即积分式中的保持常数,那么,()式可改写为:x[(k+1)T)]=eATx(kT)+=F(T)x(kT)+F(T-t)()若令F(T-t)=Fm(T),则有:x[(k+1)T)]=F(T)x(kT)+Fm(T)()这就是一个离散状态方程。()式是在假定信号重构器使输入量u(t)在两个采样时刻之间保持不变这样的前提下推导出来的,。实际上,输入量在两个采样时刻之间是变化的,这样就会引起误差。为了减小误差,可以假定在两个采样时刻之间,信号重构器使为一斜坡函数,。此时,在kT与(k+1)T之间,相对矩形近似有一个存在()对应,对x[(k+1)T)]引起的变化量为:x[(k+1)T)]eA(T-t)BdteA(T-t)Bdt()若令eA(T-t)Bdt=m(T),则整个离散状态方程为:x[(k+1)T)]=F(T)x(kT)+Fm(T)u(kT)+m(T)()至此,我们得到式()中与系统模型有关的系数为:F(T)=eAT(状态转移矩阵)Fm(T)=F(T-t)Bdt(输入信号采用零阶重构器引入的系数矩阵)m(T)=teA(T-t)Bdt(输入信号采用三角形信号重构器后叠加的系数矩阵)下面举一个例子来说明如何用离散相似法来进行数字仿真。假设有一系统,。C1-C1yuex+-,该系统的开环部分是由一个非线性环节(饱和环节)及一个线性环节所组成。今将线性部分化成时域离散相似模型。已知线性部分状态方程为:x=Ax+Buy=Cx()其中:A=,B=,C=,根据前述,F(T)=eAT=L-1[(sI-A)-1]因为sI-A=,所以有:(sI-A)-1=F(T)=L-1[(sI-A)-1]=Fm(T)=F(T-t