数学归纳法数学归纳法.ppt

数学归纳法(一):问题1:在数列{an}中,a1=1,,先计算a2,a3,a4的值,:问题2:对小于6的自然数n,不等式成立吗?解:264<49n=5222<7n=4180<1n=3138<n=296<n=16(7n+9)大小关系∴对小于6的自然数n,不等式成立.(不完全归纳法)(完全归纳法)由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法问题3:对任意自然数n,不等式成立吗?解:138<n=2264<49n=5222<7n=4180<1n=396<n=16(7n+9)大小关系n=6343>348n=72401>348结论:当n是小于6的自然数,不等式成立当n是大于等于6的自然数,6(7n+9)>说明:(1)依数据作推测,决不是乱猜,要注意对数据作出谨慎地分析。(2)用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份,须寻求数学证明资料2:f(n)=n2+n+41,当n∈N时,f(n)是否都为质数?f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,……f(39)=1601但f(40)=1681=412是合数。资料1:费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多贡献。但是,费马认为,当n∈N时,+1一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了+1=4294967297=6700417×641从而否定了费马的推测。:第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科如何证明由不完全归纳法得到的一般结论?以问题1为例:问题1:在数列{an}中,a1=1,,先计算a2,,a3,a4的值,=,a3=,a4=,推测an=证明思路:先证明“第一项满足公式”再证明命题“若某一项满足公式,则下一项也满足公式”(证题基础)(递推关系)条件结论(2)假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即ak=那么:ak+1=∴当n=k+1时,公式成立证明:(1)当n=1时,左=a1=1,右==1,所以公式成立。由(1)(2)知对任意自然数n,an=:先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确