2011年数学高考分类汇编解答题(理)05——解析几何.doc

05 解析几何
1. (2011天津卷理)18.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,点为动点,△为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.
【解析】、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,.
(I)解:设
由题意,可得
即
整理得(舍),
或所以
(II)解:由(I)知
可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A,B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得
解得
得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为,
由
于是
由
即,
化简得
将
所以
因此,点M的轨迹方程是
2. (北京理)19.(本小题共14分)
(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数,并求的最大值.
【解析】(19)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
(Ⅱ)由题意知,.
当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为
此时
当m=-1时,同理可得
当时,设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为,则
又由l与圆
所以
由于当时,
所以.
因为
且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
3. (辽宁卷理)20.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(I)设,求与的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
【解析】:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设
设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得
………………4分
当表示A,B的纵坐标,可知
………………6分
(II)t=,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即
解得
因为
所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;
当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分
4. (全国大纲卷理)21.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交于A、B两点,点P满足
(Ⅰ)证明:点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析】:
(I)F(0,1),的方程为,
代入并化简得
…………2分
设
则
由题意得
所以点P的坐标为
经验证,点P的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。…………6分
(II)由和题设知,
PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。…………9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上 …………12分
5. (2011全国新课标理)(20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足, ,M点的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
【解析】(20)解:
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知(+)• =0,即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为,即。
,所以
当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.
6. (江西卷理)20(本小题满分13分)
是双曲线:上一点,分别是双曲线的左、右定点,直线的斜率之积为.
求双曲线的离心率;
过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点,为坐标原点,为双曲线上的一点,满足,求的值.
【解析】(1)已知双曲线E:,在双曲线上,M,N分别为双曲线E的左右顶点,所以,,
直线PM,PN斜率之积为
而,比较得
(2)设过右焦点