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· 专论荟萃· 数学通讯年第期
巧妙构造函数证明数列的单调性
郝红宾
河北省石家庄外国语学校,
对数列,对任意∈,若满足.
,则数列为递增数列;若满足点评数学归纳法最关键的一步就是由
,,则数列为递减数列. 到的证明,而我们在利用了函数
那么,我们又如何证明,或的单调性之后,这一步就真成了“一步”便可完
呢本文介绍利用函数证明的方法. 威:.
由递推公式构造函数侈已知,≠,且
证明数列单调性时,如果条件中给出递推
.
公式,利用它构造出函数,
再借助的单调性去辅助证明数列的单调试证:数列对任意∈都满足
性,可能会收到奇效. ,或满足小
例年高考江西卷理科题第分析本题要想先由递推公式求出
问已知数列的各项都是正数,且满足: 的通项公式,再研究其单调性,显然不容易,而
利用—的作差比较法能做但稍显繁
,寺一,∈
杂,所以考虑构造函数解决.
证明:,,,∈.
分析本题的第问是求的通项公证明令, ,则,
式,如果我们先做第问,再利用通项公式
,是增函数.
证明第问的单调性,当然可以了,但这不是
编题者的初衷,之所以将单调性放在第问, 又一: 一三
说明是可以直接利用与的递推公式
—的作差比较法一
;
来证明,能做但稍显繁杂,看到递推公式的特
所以当时, ,贝
点,所以考虑构造一个二次函数.
,即,于是,⋯,,
证明用数学归纳法证明.
一
当时,,一当时, ,则,
詈,..,结论成立. ,,即,于是,⋯,
. ’
假设时结论成立,即
.∈. 即数列对任意∈都满足
,或满足.
令.
厂一,则.,’在,上点评由于本题的函数形式复杂,所以需
单调递增,所以由归纳假设,有要求导判断函数的单调性,最后用到了分类讨
. 厂. ,即. 论的思想方法.
这就是说当时,结论也成立. 由表示构造函数
根据和可知,对一切∈都有例第三届中国东南地区数学奥林匹
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数学通年第期·专论荟萃·
克第题第问对任意正整数//,设口是方
函数,但选择了不合适的函数厂二,
程。的实数根,求证口口.
结果导致构造两次函数,两次求导,过程相当
,也可以证
得简单.
·然后利用口封与口证明弦的斜率为
矗:鱼: :二
作差,放缩,因式分解证出口口. 一口一口口, 一口’
如果采取构造函数的方法呢要想直接从三要证它单调递增,只需证明走走,其中
一“
次方程中解出口比较困难,我们不妨.
庀川‘
反过来用口表示,即,也即看作任取,设函数—一
一,则
函数,要想证明口随单调递增,
—一一.,
只要证明随单调递增即可. 当时,,在,
解依题意,口,易得口. 。上为增函数;当时,,
在一,上为减函数,所以≠
又,令。二≥,其中时,.
由知,口时,数列口单调递增,