极坐标系与极坐标方程.doc

---------------------------------作者:_____________-----------------------------日期::_____________极坐标系与极坐标方程一、坐标系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定。3、空间直角坐标系在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定。二、平面直角坐标系的伸缩变换定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换④的作用下,点P(x,y)对应到点P’(x’,y’),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1三、极坐标系1、极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。(其中O称为极点,射线OX称为极轴。)2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用r表示线段OM的长度,用q表示从OX到OM的角度,r叫做点M的极径,q叫做点M的极角,有序数对(r,q)就叫做M的极坐标。特别强调:由极径的意义可知r≥0;当极角q的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(r,q),极点的极坐标是极径r=0,、负极径的规定在极坐标系中,极径r允许取负值,极角q也可以去任意的正角或负角当r<0时,点M(r,q)位于极角终边的反向延长线上,且OM=。M(r,q)也可以表示为4、数学应用例1写出下图中各点的极坐标A(4,0)B(2)C()D()E()F()G()规定:极点的极坐标是=0,可以取任意角。变式训练在极坐标系里描出下列各点A(3,0)B(6,2)C(3,)D(5,)E(3,)F(4,)G(6,)例2在极坐标系中,已知两点P(5,),Q,求线段PQ的长度;已知M的极坐标为(r,q)且q=,r,说明满足上述条件的点M的位置。变式训练1、若的的三个顶点为2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。(O为极点)例3已知Q(r,q),分别按下列条件求出点P的极坐标。P是点Q关于极点O的对称点;P是点Q关于直线的对称点;P是点Q关于极轴的对称点。,与点关于极点对称的点的一个坐标是()2在极坐标系中,如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点O为极点,轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和,则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取≥0,≤≤。;;