正弦定理和余弦定理教案.doc

正弦定理和余弦定理教案第一课时正弦定理(一)-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。 A思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?        C       B(-1)(二)探索新知在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有,,又,                                                                 A则         b    c从而在直角三角形ABC中,    C   a  B(-2)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:-3,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则,  C                               同理可得,              b     a从而            A    D    B(-3)证明二:(等积法)在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得:==证明三:(外接圆法)如图所示,∠A=∠D∴ (R为外接圆的半径)同理=2R,=2R由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。证明四:(向量法)                 过A作单位向量垂直于由+=   两边同乘以单位向量得?(+)=?则?+?=?∴||?||cos90+||?||cos(90C)=||?||cos(90A)∴ ∴=同理,若过C作垂直于得:= ∴==从而           类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(让学生课后自己推导)从上面的研究过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即(三)理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使,,;(2)等价于,,从而知正弦定理的基本作用为:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。(四),已知,,cm,解三角形。解:根据三角形内角和定理,;根据正弦定理,;根据正弦定理,,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。(课本p4,例4)解:根据正弦定理,因为<<,所以,或(1)当时,,(2)当时,,(1)定理的表示形式: